Доказать формулу Лейбница. Если G - точка пересечения медиан треугольника ABC, а P - любая точка, то
[tex]3PG^2=PA^2+PB^2+PC^2-(GA^2+GB^2+GC^2)[/tex]
[tex]3PG^2=PA^2+PB^2+PC^2-(GA^2+GB^2+GC^2)[/tex]
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
GA + GB + GC = 0; (1)если G - точка пересечения медиан. На самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как
GA + GB = 2*GM = - GC;
где M - середина AB
Тогда
3*PG = PA + PB + PC; (2)
для любой точки P - это сразу видно, если подставить
PA = PG + GA; PB = PG + GA; PC = PG + GC;
Из (1) после возведения в квадрат
0 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2(GA*GB +GA*GB + GB*GC); (3)
а из (2)
9*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2(PA*PB + PA*PC + PB*PC) =
PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2((PG + GA)*(PG + GB) + (PG + GA)*(PG + GC) + (PG + GB)*(PG + GC)) = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 6*PG^2 + 4*PG*(GA + GB + GC) + 2(GA*GB + GA*GC + GB*GC);
если учесть (1) и (3), получается
3*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 - (GA^2 + GB^2 + GC^2)
Везде жирным шрифтом обозначены вектора, а PA*PB означает в этих случаях скалярное произведение.
ЧТД