Решить уравнение [tex]2x+1+\sin({\rm arc tg}\, x)+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}=0[/tex]. Created by yugolovin. algebra-ru

Ответ:Объяснение: Заметим, что если , то Значит, Уравнение перепишем в виде: ,или, введя функцию , .Исследуем функцию . Заметим:, т.е. равносильно Также отметим, что , т.е. функция монотонно возрастает.Но тогда равносильно

tex]...

yugolovin @yugolovin

August 2022 1 81 Report

Решить уравнение
[tex]2x+1+\sin({\rm arc tg}\, x)+\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}=0[/tex]

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

Ответ:

$x=-\dfrac{1}{2}$

Объяснение:

$|arctgx|$

Заметим, что если $|t|$ , то

$sint=[cost>0]=\dfrac{tgt}{\frac{1}{cost}}=\dfrac{tgt}{\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}}=\dfrac{tgt}{\sqrt{1+tg^2t}}$

Значит, $sin(arctg x)=\dfrac{tg(arctg x)}{\sqrt{1+tg^2(arctg x)}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

Уравнение перепишем в виде:

$x+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=-\left(x+1+\dfrac{x+1}{\sqrt{1+(x+1)^2}}\right)$ ,

или, введя функцию $f(x)=x+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ ,

$f(x)=-f(x+1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$ .

Исследуем функцию $f(x)$ . Заметим:

$f(-x)=-x+\dfrac{-x}{\sqrt{1+(-x)^2}}=-\left(x+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=-f(x)$ , т.е. $(1)$ равносильно

$f(x)=f(-x-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$

Также отметим, что $f'(x)=1+\dfrac{\sqrt{1+x^2}-x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}=1+\dfrac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}>0$ , т.е. функция монотонно возрастает.

Но тогда $(2)$ равносильно

$x=-x-1\\ x=-\dfrac{1}{2}$

2 votes Thanks 3

yugolovin Мою несложную загадку Вы разгадали)) Но здесь была не только загадка, но и внесенная возможность не вычислять производную - ведь sin(arctg x) - возрастающая функция как суперпозиция возрастающих

igorShap Да, действительно, не подумал

settom Изящно вышло

Answers & Comments

Verified answer

tex]...

tex]...

kakuyu znamenituyu italyanskuyu aktrisu kritiki nazyvali chaplinym v yubke i pochem

dokazat chto esli chetyrehugolnik yavlyaetsya odnovremenno vpisannym i opisannym

tex sostoit iz odnoj tochki

tex]...

tex ispolzovanie proizvodnoj ne privetstvuetsya

sformulirovat i dokazat teoremu napoleona zhelatelno no ne obyazatelno dlya

dokazat chto v lyubom treugolnike tochka peresecheniya median tochka peresecheniya v

chto svyazyvaet imena genri persella i bendzhamina brittena

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social