Докажите, что при всех положительных значениях переменных x, y, z выполнено неравенство
[tex]\centerline{x^5y^4+x^5z^4+y^5x^4+y^5z^4+z^5x^4+z^5y^4 \geq 6x^3y^3z^3}[/tex]
[tex]\centerline{x^5y^4+x^5z^4+y^5x^4+y^5z^4+z^5x^4+z^5y^4 \geq 6x^3y^3z^3}[/tex]
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
X⁵y⁴ + z⁵z⁴ + y⁵x⁴ + y⁵z⁴ + z⁵x⁴ + z⁵y⁴ ≥ 6x³y³z³Разделим на 6:
(x⁵y⁴ + x⁵z⁴ + y⁵x⁴ + y⁵z⁴ + z⁵x⁴ + z⁵y⁴)/6 ≥ x³y³z³
Заметим, что перемножив все слагаемые, получим:
x⁵y⁴·x⁵z⁴·y⁵x⁴·y⁵z⁴·z⁵x⁴·z⁵y⁴ = x¹⁸y¹⁸z¹⁸
Количество слагаемых - 6.
Значит, в правой части представлено среднее арифметическое шести чисел, а в правой части - среднее геометрическое.
Как известно, среднее арифметическое n-ого количества чисел больше n-ого количества среднего геометрического этих же чисел (или равно, если все n чисел равны между собой).