Докажите, что при любых значениях переменных справедливо неравенство:
[tex]\bigg ( \dfrac{a + b + +c}{3} \bigg )^2 \geq \dfrac{ab + ac + bc}{3} [/tex]
[tex]\bigg ( \dfrac{a + b + +c}{3} \bigg )^2 \geq \dfrac{ab + ac + bc}{3} [/tex]
Answers & Comments
--
[(a +b +c)/3]^2 >= (ab +ac +bc)/3 <=>
[a^2 +b^2 +c^2 +2(ab +ac +bc) -3(ab +ac +bc)]/9 >=0 <=>
a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac -bc >=0 <=>
2(a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac -bc) >=0 <=>
(a-b)^2 +(a-c)^2 +(b-c)^2 >=0
Квадрат действительного числа всегда больше или равен нулю.