1)При каком наибольшем целом значении х выражение [tex] \frac{ \frac{1}{2} x^{2} + 3 }{ x^{2} -9x+14 } [/tex] принимает отрицательное значение?
2)Решите уравнение: log₂(3-2^x)+log₂(5-2^x)=4
3)Решите неравенство: [tex]|2 x^{2} -x-1| \geq 5[/tex]
2)Решите уравнение: log₂(3-2^x)+log₂(5-2^x)=4
3)Решите неравенство: [tex]|2 x^{2} -x-1| \geq 5[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
1)Числитель больше 0 при любом х, поэтому нужно решить неравенство
x^2 - 9x + 14 < 0
(x - 7)(x - 2) < 0
x ∈ (2; 7)
Ответ: при x = 6
2)
Область определения: 2^x < 3;
Сумма логарифмов равна логарифму произведения.
Сделаем замену 2^x = y > 0 при любом х
(3 - y)(5 - y) = 16
y^2 - 8y + 15 - 16 = 0
y^2 - 8y - 1 = 0
D/4 = 4^2 - (-1) = 16 + 1 = 17
y1 = 2^x = 4 - √17 < 0 - не подходит
y2 = 2^x = 4 + √17 > 3 - не подходит.
Ответ: Решений нет.
Если бы справа было 3, а не 4, то было бы решение x = 0.
3) |2x^2 - x - 1| ≥ 5
Распадается на два неравенства
а) 2x^2 - x - 1 ≤ -5
2x^2 - x + 4 ≤ 0
D = 1 - 2*2*4 = 1 - 16 = -15 < 0
Решений нет
б) 2x^2 - x - 1 ≥ 5
2x^2 - x - 6 ≥ 0
D = 1 - 4*2*(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2
x1 = (1 - 7)/4 = -6/4 = -3/2; x2 = (1 + 7)/4 = 8/4 = 2
Ответ: x ∈ (-oo; -3/2] U [2; +oo)