Так как функции вида y=n^x монотонно спадают при x > 1 и 0 < n < 1, s^2017 <= s^2, c^2018 <= c^2.
Если s не принадлежит множеству {0;1;-1}, уравнение решений не имеет. Предположим обратное. Пусть |s| <> 0 и |s| <> 1. Выразим квадрат косинуса через квадрат синуса: c^2 = 1 - s^2. Тогда c^2018 = (1 - s^2)^1009. Так как c^2018 <= c^2, то в данном случае c^2018 < c^2. Так как s^2017 <= s^2, то в данном случае s^2017 < s^2. c^2018 + s^2017 < c^2 + s^2 ==> c^2018 + s^2017 < 1. В левой части получилась сумма двух чисел, которые меньше c^2 и s^2, т. е. меньше еденицы. А по условию c^2018 + s^2017 равно 1. Пришли к противоречию, следовательно, |s| = 0 или |s| = 1.
Таким образом, возможны следующие варианты: 1) {sin(x) = 0, cos(x) = ±1} => x = pn; 2) {sin(x) = 1, cos(x) = 0} => {x = p/2 + pn, x = p/2 + 2pn} => x = p/2 + 2pn.
Ответ: x = p/2 + 2pn; x = pn.
Мы можем рассуждать так: c^2018 + s^2017 = 1 c^2 + s^2 = 1 Отнимем эти равенства: c^2018 + s^2017 - (c^2 + s^2) = 0 c^2(c^2016 - 1) = s^2(1 - s^2015) Очевидно, что c^2016 - 1 <= 0, 1 - s^2015 >= 0, при этом s^2 и c^2 неотрицательны. В правой части неотрицательное число. В левой неположительное. Следовательно, уравнение не имеет решений при cos(x) <> 0 и (c^2016 - 1) <> 0. Далее рассматриваем cos(x) = 0 и cos(x) = ±1.
2 votes Thanks 3
Denik777
Нет, я не придираюсь. 9 и 10 строки - туман и муть. То что там строгое неравенство, это верно, но объяснение я не понимаю. Вам всего-то надо проверить, что "в данном случае" c^2018 <>c^2. Нормальная логика такова: В противном случае было бы c^2018=c^2, но т.к. s^2 не равно 0, 1, то и с^2 не равно 0, 1 (по формуле), а значит на c^2 можно сократить, и получим c^2016 =1, откуда c^2=1 - противоречие. Но у вас не написано ничего такого.
Змей24
Если я напишу 2*2 = 4, Вы скажете, что я должен доказать это, используя понятие ассоциативности умножения, а именно, что 2*(2) = (2)*2 = 4. Но я не против, если люди уже начали праздновать :)
Denik777
Если вы пишете в соседней строчке что x^n - убывающая функция, а до этого несколько раз пишете неверное решение, то, дейстительно, "в данном случае" не помешало бы расписать подробно каждый шаг.
Змей24
С предыдущими замечаниями я полностью согласен! И в будущем буду расписывать каждый шаг. Вы правы, это единственный способ избежать ошибок.
Denik777
Вот вторая часть мне нравится. Хорошее короткое доказательство. В таком виде уже можно принять. Спасибо!
Змей24
Я не могу исправить свое решение после того, как оно одобрено. Функция убывает :)
Добавлю тогда я свое решение, подобное я когда-то решал. если 0≤a≤1, то a^k≤a для любого k∈N, k≥2, причем равенство a^k=a справедливо только при a=0 и a=1 Полагая a=sin^2x, получаем неравенство Справедливо при всех x∈R причем равенство sin^2017x=sin^2x является верным только в случаях sinx=0 и sinx=1 Аналогично для любого x∈R получаем справедливое неравенство причем равенство cos^2018x=cos^2x является верным только в случаях cosx=0 и |cosx|=1 Складывая эти неравенства получаем неравенство верным когда sinx=0 и cosx=1 sinx=0 и cosx=-1 sinx=1 и cosx=0 sinx=-1 и cosx=1 Для -1 не рассматриваем, т.к нечетная степень. Рассматриваем sinx=1 и cosx=0 Объединяя получаем решение x= Рассматриваем sinx=0 и cosx=-1 Объединяя решение получаем x=
1 votes Thanks 3
Denik777
Удивляюсь, почему народ не проверяет, что он пишет. Ну вот вначале идут рассуждения про то, что a^k=a при 0≤a≤1 и натуральном k. Потом это применяется к синусу в 2017 степени, и уж если а=sin^2x, то k - уже явно не натуральное там. Ок, ладно. Пусть.
Denik777
Дальше читаем 7 строка "только в случае sinx=0 и |sinx|=1 - если sin(x)=-1, то sin^2017x НЕ РАВНО sin^2x, хотя |sinx|=1. Ну вот зачем вы тогда это пишите? Это ж математика. И в этой задаче как раз все тонкости в различиях строгих и нестрогих неравенств. Есть же стандартные правила действий с неравенствами, в 6 классе проходят. Ну почему нельзя их четко и внятно применить? Мне не понять... И в итоге ответ таки неверный... ))
Алкадиеныч
Народ пытается решить задачу, а ошибаться может каждый, что в этом плохого) Решить сложную задачу без ошибок ну для меня никак низя. Вообщем постараюсь исправить) А насчет рассуждений в этом вся и беда, что ответ вроде как очевидный (он еще и неправильный), а доказать решение - сложность.
Denik777
Как только на каждом шаге решения вы будете использовать простые переходы, по обычным школьным правилам, то вам сразу будет понятно, верный или неверный у вас ответ, и вообще, получен ли он. Любое математическое рассуждение можно свести к этим простым и всем понятным шагам. Как только ощущаете, что в ваших рассуждениях есть какая-то муть, допустим в трудной задаче, нужно остановиться и восстановить все эти базовые шаги по правилам математики. Эта задача с этой точки зрения хороший пример.
Answers & Comments
Verified answer
Введем обозначения: s = sin(x), c = cos(x).Так как функции вида y=n^x монотонно спадают при x > 1 и 0 < n < 1,
s^2017 <= s^2,
c^2018 <= c^2.
Если s не принадлежит множеству {0;1;-1}, уравнение решений не имеет.
Предположим обратное. Пусть |s| <> 0 и |s| <> 1.
Выразим квадрат косинуса через квадрат синуса: c^2 = 1 - s^2.
Тогда c^2018 = (1 - s^2)^1009.
Так как c^2018 <= c^2, то в данном случае c^2018 < c^2.
Так как s^2017 <= s^2, то в данном случае s^2017 < s^2.
c^2018 + s^2017 < c^2 + s^2 ==> c^2018 + s^2017 < 1.
В левой части получилась сумма двух чисел, которые меньше c^2 и s^2, т. е. меньше еденицы.
А по условию c^2018 + s^2017 равно 1.
Пришли к противоречию, следовательно, |s| = 0 или |s| = 1.
Таким образом, возможны следующие варианты:
1) {sin(x) = 0, cos(x) = ±1} => x = pn;
2) {sin(x) = 1, cos(x) = 0} => {x = p/2 + pn, x = p/2 + 2pn} => x = p/2 + 2pn.
Ответ: x = p/2 + 2pn; x = pn.
Мы можем рассуждать так:
c^2018 + s^2017 = 1
c^2 + s^2 = 1
Отнимем эти равенства:
c^2018 + s^2017 - (c^2 + s^2) = 0
c^2(c^2016 - 1) = s^2(1 - s^2015)
Очевидно, что c^2016 - 1 <= 0, 1 - s^2015 >= 0, при этом s^2 и c^2 неотрицательны.
В правой части неотрицательное число.
В левой неположительное.
Следовательно, уравнение не имеет решений при cos(x) <> 0 и (c^2016 - 1) <> 0. Далее рассматриваем cos(x) = 0 и cos(x) = ±1.
Verified answer
Добавлю тогда я свое решение, подобное я когда-то решал.если 0≤a≤1, то a^k≤a для любого k∈N, k≥2, причем равенство a^k=a справедливо только при a=0 и a=1
Полагая a=sin^2x, получаем неравенство
Справедливо при всех x∈R причем равенство sin^2017x=sin^2x является верным только в случаях sinx=0 и sinx=1
Аналогично для любого x∈R получаем справедливое неравенство
причем равенство cos^2018x=cos^2x является верным только в случаях cosx=0 и |cosx|=1
Складывая эти неравенства получаем неравенство
верным когда
sinx=0 и cosx=1
sinx=0 и cosx=-1
sinx=1 и cosx=0
sinx=-1 и cosx=1
Для -1 не рассматриваем, т.к нечетная степень.
Рассматриваем sinx=1 и cosx=0
Объединяя получаем решение
x=
Рассматриваем sinx=0 и cosx=-1
Объединяя решение получаем x=