Verified answer

Ответ:

Если - четно:

Если - нечетно:

Объяснение:

Рассмотрим функцию:

- натуральное число,

В принципе интуитивно ясно, что если , то чем выше число , тем меньше радикалы этих - степеней отличны друг от друга, иначе говоря, на промежутке

Докажем это строго.

Найдем производную функции :

Поскольку мы рассматриваем при нечетном и   при четном , то в любом случае верно неравенство:

, а значит в независимости от четности и будет справедлива следующая цепочка неравенств (в которой все выражения определены):

Как видим, при функция монотонно убывает при любом нечетном натуральном .

При четном функция определена только для , а значит она монотонно убывает в этой области.

При нечетном можно заметить, что функция является четной, действительно, ведь:

при нечетном .

Доказанные выше свойства пригодятся нам в дальнейшем.

Приступим теперь к решению уравнения.

Рассмотрим вариант когда - четно.  ОДЗ:

{Пусть:

- корень уравнения.

Запомним это.

Предположим, что , тогда делим обе части уравнения на   при этом лишнее ограничение не прибавляется, ибо .  Обозначим:

Тогда получаем:

}

Функция    монотонно убывает на области определения, тогда из равенства значений функций cледует равенство аргументов:

Корень удовлетворяет ОДЗ.

В данном случае необходимо проверить, что аргумент функции удовлетворяет ее области определения:

Все верно.

Предположим, что .

В этом случае немного изменим тактику решения:

, поскольку  , то  , то есть лишнее ограничение в этом случае не появится.

Аналогично обозначаем:

Откуда по тем же рассуждениям получаем:

Полученный корень уже был, причем в этом случае он не удовлетворяет условию: .

Предположим, что - нечетно.

Воспользуемся результатом в пункте для четного , но уже при произвольном , который отмечен фигурными скобками {...}.                   В этом случае из-за четности функции и монотонном убывании при при движении от и влево и вправо функция cимметрично монотонно убывает.

Иначе говоря, из равенства значений функций следует равенство модулей их аргументов: