Решение задачи с параметром:
При каких "а" неравенство выполняется для всех х∈[-2;1]
[tex]2x^3+9x+3|x+a-2|+2|2x-a+2|+ \sqrt[5]{2x-3} \leq 16 [/tex]
При каких "а" неравенство выполняется для всех х∈[-2;1]
[tex]2x^3+9x+3|x+a-2|+2|2x-a+2|+ \sqrt[5]{2x-3} \leq 16 [/tex]
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Подставляем x = 1:
2 + 9 + 3|a - 1| + 2|a - 4| - 1 <= 16
3|a - 1| + 2|a - 4| <= 6
|a - 1| + 2(|a - 1| + |a - 4|) <= 6 [*]
Пользуемся известным свойством: |x| + |x + a| >= a для всех x. Тогда второе слагаемое всегда не меньше 6. Чтобы вся правая скобка не превосходила 6, необходимо, чтобы неотрицательное |a - 1| было равно 0, т.е. a = 1. Подстановкой убеждаемся, что [*] выполняется при a = 1.
Итак, единственное претендующее на попадание в ответ a - это единица. Проверяем, выполнены ли условия задачи при a = 1.
Подставляем a = 1:
Рассмотрим функцию
Распишем, чему она равна при -2 <= x <= 1. Первый модуль раскроется как 1 - x, а второй будет раскрываться по-разному в зависимости от того, в каком промежутке лежит x.
а) x ∈ [-1/2, 1]. Второй модуль раскрывается как 2x + 1. Тогда вся функция упрощается до
Заметим, что функция возрастает на этом отрезке, т.к. является суммой возрастающих функций и константы -11.
б) x ∈ [-2, -1/2]. Второй модуль превращается в -2x - 1. После упрощения
И тут тоже функция возрастает, ну а поскольку она непрерывна, то возрастает на всём отрезке [-2, 1].
Итак, y(1) = 16 и возрастает на [-2, 1], значит, y(x) < y(1), если x < 1, значит, требуемое неравенство выполняется на отрезке, т.е. a = 1 входит в ответ.
Ответ. a = 1
Verified answer
Исследуем функцию на монотонность.Очевидно, что у=х³ и у=⁵√(2х-3) - возрастающие функции
докажем, что оставшаяся функции тоже возрастающая (см. фотки)
ответ: а=1