Замена sin y = t(x), тогда t' = y'*cos y Подставляем t ' (x) + t(x) = x Неоднородное уравнение 1 порядка Замена t(x) = u*v; t ' (x) = u'*v + u*v' u'*v + u*v' + u*v = x u'*v + u*(v' + v) = x Скобку приравниваем к 0 v' + v = 0 dv/dx = -v dv/v = -dx ln(v) = -x v = e^(-x) Подставляем в уравнение u'*v + u*(v' + v) = x u'*e^(-x) + u*0 = x u'*e^(-x) = x u' = x*e^x Решается интегрированием по частям u = x*e^x - e^x + C = e^x*(x - 1) + C Обратная замена t(x) = u*v = e^(-x)*(e^x*(x - 1) + C) = C*e^(-x) + x - 1 Ответ: sin y = C*e^(-x) + x - 1
2 votes Thanks 2
yugolovin
При этом C*e^(-x)+x-1 является аргументом этого Арксинуса
Удачник66
Да, то, что sin^(-1) - это арксинус, я уже сам догадался.
Удачник66
> Но ведь y не обязан лежать в пределах [-1;1] ! Да, у не обязан, и не будет лежать в этих пределах, он может быть каким угодно, а вот t - ДА ! ]
yugolovin
Да, выше я написал глупость про y в пределах [-1;1] . Я хотел там написать y не обязан лежать в пределах [-\pi/2;\pi/2], поэтому писать y=arcsin t не вполне корректно
Удачник66
А, это да. Тогда нужно оставить в неявном виде. sin y = C*e^(-x) + x - 1
yugolovin
Готовы довести решение до идеального? Тогда я еще раз попрошу послать Вам на исправление. Только в начале решения нужно тоже воздержаться от арксинуса
Удачник66
Хорошо. Я просто старался получить решение в таком же виде, как в Вольфраме, но видимо, это не лучший вариант.
yugolovin
Если как в Вольфраме, то нужно ответ писать как в тригонометрических задачах, выписывая все серии, так как в современной школе большой арксинус не изучается
Удачник66
На самом деле я тоже не понимаю разницы между большим и простым арксинусом
yugolovin
Большой Арксинус - это многозначная функция, сопоставляющая каждому значению аргумента из [-1;1] все углы с таким значением синуса. Его график получается из графика синуса симметрией относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Arcsin x=(-1)^n arcsin x +\pi n
Answers & Comments
Verified answer
Замена sin y = t(x), тогда t' = y'*cos y
Подставляем
t ' (x) + t(x) = x
Неоднородное уравнение 1 порядка
Замена t(x) = u*v; t ' (x) = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v = x
u'*v + u*(v' + v) = x
Скобку приравниваем к 0
v' + v = 0
dv/dx = -v
dv/v = -dx
ln(v) = -x
v = e^(-x)
Подставляем в уравнение
u'*v + u*(v' + v) = x
u'*e^(-x) + u*0 = x
u'*e^(-x) = x
u' = x*e^x
Решается интегрированием по частям
u = x*e^x - e^x + C = e^x*(x - 1) + C
Обратная замена
t(x) = u*v = e^(-x)*(e^x*(x - 1) + C) = C*e^(-x) + x - 1
Ответ: sin y = C*e^(-x) + x - 1