Verified answer

б) Эту задачу можно решить двумя способами:

1) геометрическим,

2) векторным.

1) Примем сторону основания а = 4 (для кратности длин отрезков).

В осевом сечении NSM отрезок NK медиана, но так как треугольник  NSM равносторонний (углы при основании по 60 градусов), то NK есть и высота на сторону SM и биссектриса угла  в 60 градусов.

Отрезок NК проходит под углом 30 градусов к основанию и пересекает высоту SO в точке Е.

Угол между ЕК и плоскостью ASC и есть искомый угол.

Горизонтальная проекция отрезка ЕК равна 1, его длина равна:

ЕК = 1/cos 30° = 1/(√3/2) = 2/√3 = 2√3/3.

Расстояние от точки К до плоскости ASCравно 1*sin 45° = √2/2.

Отсюда находим искомый угол α:

sin α = (√2/2)/(2√3/3) = (3/4)*√(2/3) ≈ 0,612372.

α = arc sin 0,612372 = 0,659058 радиан = 37,7612°.

2)  Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ребром ВА по оси Ох, ребром ВС по оси Оу.

Координаты точек:

А(4; 0; 0),  S(2; 2; 2√3),   C(0; 4; 0).

По трём точкам находим уравнение плоскости ASC:

ASC: -13,8564x - 13,8564y + 0z + 55,42563 = 0.

Точки К(2; 3; √3),  N(2; 0; 0).

Вектор NK: (0; 3; √3).

Направляющий вектор прямой имеет вид:

   l m n Ск.произв. -41,56921938    

  s = {l; m; n}  0 3 1,732050808

Модуль = √12 = 3,464101615.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:     A B C   sin fi = 0,612372436  

Ax + By + Cz + D = 0

-13,8564   -13,8564      0     Модуль = 19,5959

fi = 0,659058 радиан

   = 37,761244 градус.