Я прошу прощения за рисунок - там много лишнего, но можно разглядеть △ABC ∠AВC = 100°; у меня была очередная "сумасшедшая идея" :).
На самом деле порядок решения такой - берется ∠HAC = 20° и в него встраивается ломанная из звеньев одинаковой длины (пока не важно, какой). Это построение хорошо известно. Я его повторю только для тех, кто не в курсе (автор задачи, я уверен, прекрасно знает, я прошу прощения).
Первая точка V на AC, вторая U на AH. △AUV равнобедренный => ∠UVC = 40°; следующая вершина ломаной точка F на AC, △FUV равнобедренный => ∠UFV = ∠UVC = 40° => ∠HUF = 60°; следующее звено FD, и легко увидеть, что △DUF оказался равносторонним. Еще одно звено DO, и точно также находится ∠DFO = ∠DOF = 80°; ∠FDO = 20°;
Так как ∠DAO = 20°, то ∠ADO = 80°; => △ADO равнобедренный, AD = AO;
Кроме того △ADO ∼ △FDO;
Больше нельзя добавить звеньев по прежней схеме, но можно добавить еще одно звено вдоль AC (сама точка C на русунке). Пусть CD продлено за D до точки B так, что AB = BC. Так как ∠DOС = 100°, ∠AСD = 40°; ∠ABС = 100°; AD - биссектриса ∠BAС.
То есть получился треугольник из условия задачи.
А вот теперь, собственно, решение задачи.
Так как ∠DFA = ∠DBA = 100°, точки F и B симметричны относительно биссектрисы AD, => DF = BD; => CO = BD; а так как AO = AD, то AD = AC - BD = 3; это все.
То, что звенья ломаной брались произвольной (одинаковой, но произвольной) длины, ничего не меняет - можно было сразу взять их длиной 3, например.
4 votes Thanks 4
cos20093
Ну, для тех, кто заинтересовался картинкой - обратите внимание на равносторонний △RSD, который образуют триссектрисы AH CL и NT. Этот треугольник будет равносторонним и в случае произвольного треугольника ABC (теорема Морли).
cos20093
Кстати, на этом чертеже полно слабых мест. Например, ниоткуда не следует, что триссектриса NF' попадает именно в точку F, построенную с помощью ломаной (ну, или что то же самое, СF = CH). Чем не задача? Или может я чего то не вижу (со мной бывает... :))
cos20093
Я надеюсь, никому не придет в голову, что последнее замечание как-то влияет на решение :)))
antonovm
Спасибо , очень интересно , хотя моё решение ближе к вашей первой идее , но достраивал я по - другому ( до треугольника с углом 60 )
cos20093
Дайте я выложу эту задачу, а Вы - Ваше решение?
Пусть боковая сторона треугольника AB=BC=c, тогда AC =2c cos 40° (для упрощения писанины обозначение градуса буду опускать),
При этом
Мы воспользовались известными (как мне кажется) в школе формулами для длины биссектрисы через прилежащие стороны и угол, а также для длины отрезка стороны, на которую опущена биссектриса.
Возможно, приведет к успеху и другой путь - в этой задаче возникают углы в 60 (угол ADB) и 120 (соответственно угол ADC) градусов, поэтому можно написать хорошие тождества, скрепляющие элементы чертежа. При этом полезно провести биссектрису DF=BD угла ADC и достроить до ромба. Правда, с первого захода довести до ответе этот путь не удалось.
3 votes Thanks 3
cos20093
Почему же "дурацкое"? Этот треугольник прямо связан с правильным 18-угольником, а там кроме задач на пересечение диагоналей есть еще всякие неожиданные тригонометрические тождества. Вы почитайте, насколько я помню, есть в известном задачнике Прасолова, есть статьи в Кванте про это. Так что совсем не дурацкое.
cos20093
Получилось 4 разных решения этой задачи (3 - вообще разные, даже идеи решения). Здорово. :) Напоминает, как тут было лет 8-9 назад.
antonovm
Да , тригонометрические тождества возникают , когда надо доказать , что диагонали проходят через одну точку и применяется теорема Чевы в тригонометрической форме , можно использовать , чтобы придумывать эти тождества , я использовал этот метод в задаче для вычисления углов
yugolovin
8-9 лет назад я не знал о существовании этого сайта)
antonovm
Кроме любителей делить в столбик , вычислять интегралы и заниматься прочей чушью , решаемой " по формуле " , есть люди , которым нравится решать ЗАДАЧИ ( строить модели ) и сейчас на этом сайте появились молодые и талантливые , которым это интересно , для них вы предлагаете нестандартные задачи , а я решил поддержать вашу инициативу
yugolovin
Надеюсь, наша деятельность не уйдет в песок, и кто-нибудь когда-нибудь вспомнит этот сайт добрым словом
cos20093
Любая деятельность уходит в песок. Если хотите пример - прочтите мой самый первый комментарий к этой задаче :) там, под условием. Этим не надо страдать - такова судьба человека в пределах народа, народа в пределах человечества, и человечества в пределах Вселенной. Мы живем здесь и сейчас, и даже если это бессмысленно - не стоит тратить время на сожаление о бренности бытия. Есть многое, о чем стоит сожалеть, и без этого :)
orjabinina
Прочитала........." ......cos20093 avatar...... Любая деятельность уходит в песок...." Нет это не так.
Answers & Comments
Verified answer
Я прошу прощения за рисунок - там много лишнего, но можно разглядеть △ABC ∠AВC = 100°; у меня была очередная "сумасшедшая идея" :).
На самом деле порядок решения такой - берется ∠HAC = 20° и в него встраивается ломанная из звеньев одинаковой длины (пока не важно, какой). Это построение хорошо известно. Я его повторю только для тех, кто не в курсе (автор задачи, я уверен, прекрасно знает, я прошу прощения).
Первая точка V на AC, вторая U на AH. △AUV равнобедренный => ∠UVC = 40°; следующая вершина ломаной точка F на AC, △FUV равнобедренный => ∠UFV = ∠UVC = 40° => ∠HUF = 60°; следующее звено FD, и легко увидеть, что △DUF оказался равносторонним. Еще одно звено DO, и точно также находится ∠DFO = ∠DOF = 80°; ∠FDO = 20°;
Так как ∠DAO = 20°, то ∠ADO = 80°; => △ADO равнобедренный, AD = AO;
Кроме того △ADO ∼ △FDO;
Больше нельзя добавить звеньев по прежней схеме, но можно добавить еще одно звено вдоль AC (сама точка C на русунке). Пусть CD продлено за D до точки B так, что AB = BC. Так как ∠DOС = 100°, ∠AСD = 40°; ∠ABС = 100°; AD - биссектриса ∠BAС.
То есть получился треугольник из условия задачи.
А вот теперь, собственно, решение задачи.
Так как ∠DFA = ∠DBA = 100°, точки F и B симметричны относительно биссектрисы AD, => DF = BD; => CO = BD; а так как AO = AD, то AD = AC - BD = 3; это все.
То, что звенья ломаной брались произвольной (одинаковой, но произвольной) длины, ничего не меняет - можно было сразу взять их длиной 3, например.
Verified answer
Добавлю "дурацкое алгебраическое" решение.
Пусть боковая сторона треугольника AB=BC=c, тогда AC =2c cos 40° (для упрощения писанины обозначение градуса буду опускать),
При этом
Мы воспользовались известными (как мне кажется) в школе формулами для длины биссектрисы через прилежащие стороны и угол, а также для длины отрезка стороны, на которую опущена биссектриса.
Возможно, приведет к успеху и другой путь - в этой задаче возникают углы в 60 (угол ADB) и 120 (соответственно угол ADC) градусов, поэтому можно написать хорошие тождества, скрепляющие элементы чертежа. При этом полезно провести биссектрису DF=BD угла ADC и достроить до ромба. Правда, с первого захода довести до ответе этот путь не удалось.
Любая деятельность уходит в песок...." Нет это не так.