Так обычно задачи и подразумевают определение Коши, а если нет, то пишут (по Гейне)

[tex]\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x\sin \frac{1}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right|\left| \sin \frac{1}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right|=0[/tex]

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin\tfrac{1}{x} = 0 \iff \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall x: 0 < |x| < \delta \to \big| x \sin \tfrac{1}{x} \big| < \varepsilon.[/tex]

Остаётся найти окрестность [tex]\delta = \delta(\varepsilon)[/tex]. Начнём с конца утверждения:

[tex]\big| x\sin\tfrac{1}{x}\big| < \varepsilon,\\[2ex] \big|x \sin\tfrac{1}{x}\big| \leq |x| < \varepsilon.[/tex]

Отсюда видно, что если выбрать, например, [tex]\delta(\varepsilon) = \varepsilon/2[/tex], то нужное неравенство [tex]\big| x \sin \tfrac{1}{x}\big| < \varepsilon[/tex] будет заведомо верно для значений [tex]x[/tex] из (проколотой) дельта-окрестности [tex]x=0[/tex].

Таким образом,

[tex]\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta(\varepsilon) = \varepsilon /2: \forall x: 0 < |x| < \delta(\varepsilon) \to \big| x \sin \tfrac{1}{x} \big| < \varepsilon.[/tex]