Для составления уравнения окружности, полученной при повороте на 180° относительно начала координат, нужно взять противоположную точку для каждой точки исходной окружности. Это можно сделать заменой координат x на -x и y на -y в уравнении исходной окружности. Таким образом, уравнение искомой окружности будет иметь вид:

(-x - 1)² + (-y - 2)² = 9

или

x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 9

или

x² + y² + 2x + 4y - 4 = 0

Таким образом, уравнение окружности, в которую перейдет окружность (x-1)² + (y +2)² = 9 при повороте на 180° относительно начала координат, будет x² + y² + 2x + 4y - 4 = 0.