Verified answer

Ответ:

................................................

Объяснение:

1. Рассмотрим случай, когда [tex]x\in\mathbb{Z}[/tex].

Тогда [tex][x] = x[/tex] и, действительно, имеем два корня: [tex]x_1 = 5,\, x_8 = 12[/tex] (смысл обозначения второго корня, как восьмого, будет раскрыт ниже).

2. Рассмотрим случай [tex]x > 0,\, x\notin \mathbb{Z}[/tex].

Тогда целая часть [tex][x][/tex] представима в виде [tex][x] = x - \{x\}[/tex], где [tex]\{x\} \in [0, 1)[/tex] --- дробная часть числа [tex]x[/tex].

Перепишем заданное уравнение, используя это соотношение:

[tex]x^2 - 17x + 60 + 17\{x\}=0.[/tex]

Для любого нецелого [tex]x[/tex] будет существовать такое [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], что [tex]n < x < n+1[/tex]. Тогда [tex]\{x\} = x-n[/tex]. То есть,

[tex]x^2 + 60-17 n = 0.[/tex]

Поскольку рассматриваем [tex]x > 0[/tex], то [tex]x = +\sqrt{17n-60}[/tex].

Первое условие на [tex]n[/tex] --- неотрицательность подкоренного выражения: [tex]n\geq 60/17[/tex].

Полученные значения [tex]x[/tex] должны попадать в промежуток [tex](n,n+1)[/tex]:

[tex]n^2 < 17n-60 < n^2+2n+1 \iff n^2-17n+60 < 0[/tex] (доказать равносильность этих неравенств предоставляется читателю). Отсюда получим ещё одно условие: [tex]5 < n < 12[/tex].

Итого, [tex]n\geq 60/17,\quad 5=85/17 < n < 12 \iff 5 < n < 12[/tex].

Получим 6 корней:

[tex]x_2 = \sqrt{42},\, x_3 = \sqrt{59},\, x_4 =2\sqrt{19},\, x_5 = \sqrt{93},\, x_6 = \sqrt{110},\, x_7 = \sqrt{127}.[/tex]

3. Осталось рассмотреть [tex]x < 0,\, x\notin \mathbb{Z}[/tex].

Как я понял из условия, для отрицательных значений функция взятия целой части должна будет вернуть ближайшее целое число, превосходящее заданное по модулю. То есть, например, [tex][{-1{,}3}] = -2[/tex] или [tex][{-0{,}5}] = -1[/tex]. Поэтому, следует модифицировать найденное в пункте 2 соотношение между функциями [tex][x][/tex] и [tex]\{x\}[/tex].

Рассмотрев пару примеров, нетрудно прийти к соотношению [tex][x] = x-1 + \{|x|\}[/tex]. Подставим его в уравнение:

[tex]x^2 - 17x + 77 - 17\{|x|\} = 0.[/tex]

Аналогично пункту 2, должны иметь натуральное число [tex]n[/tex] такое, что [tex]-(n+1) < x < -n[/tex]. Тогда [tex]\{|x|\} = |x| - n = -x-n[/tex]. Получим

[tex]x^2+77+17n = 0 \iff x\in\varnothing.[/tex]

Ответ. [tex]x\in\Big\{5;\; \sqrt{42};\; \sqrt{59};\; 2\sqrt{19};\; \sqrt{93};\; \sqrt{110};\; \sqrt{127},\, 12\Big\}.[/tex]