Ответ:

Доказано требуемое (в исправленной формулировке).

Пошаговое объяснение:

1) Поскольку в правой части есть [tex]\sqrt{x},\ \sqrt{y}\Rightarrow x\ge 0;\ y\ge 0.[/tex]

Поскольку в знаменателях в левой части стоят x и y ⇒ x≠0; y≠0.

Вывод: x>0; y>0.

2) Ясно, что в том виде, в котором написано неравенство, доказать его невозможно, так как при x=y неравенство превращается в равенство. Поэтому запишем правильную формулировку задания:

Докажите неравенство      [tex]\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}.[/tex]

Переходим к доказательству неравенства. Поскольку числители и знаменатели дробей в левой части положительны, неравенство равносильно неравенству

                  [tex]\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y}}+\dfrac{\sqrt{y^2}}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}\Leftrightarrow \dfrac{|x|}{\sqrt{y}}+\dfrac{|y|}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y}.[/tex]

Поскольку x>0, y>0⇒ |x|=x, |y|=y, поэтому неравенство можно записать в виде  

                                       [tex]\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\ge \sqrt{x}+\sqrt{y},[/tex]

а если обозначить [tex]\sqrt{x}=a > 0;\ \sqrt{y}=b > 0,[/tex] оно запишется так:

                                              [tex]\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a} \ge a+b.[/tex]

Домножив неравенство на ab>0, получим равносильное неравенство

[tex]a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\Leftrightarrow (a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)\ge 0\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\ge0\Leftrightarrow[/tex]  

    [tex]\Leftrightarrow (a^2-b^2)(a-b)\ge 0\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a-b)\ge 0\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\ge 0.[/tex]  

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, а слагаемые во второй скобке больше нуля, полученное неравенство очевидно, а поскольку оно равносильно исходному неравенству, исходное неравенство (в исправленной формулировке)  доказано. Кстати, очевидно, что оно превращается в равенство тогда и только тогда, когда a=b, то есть x=y.

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим неравенство вида:

[tex]\dfrac{1}{t}+t^2 \ge 1+t\;\;(*)[/tex]

Оно переписывается как:

[tex]\dfrac{(t-1)^2(t+1)}{t} \ge 0[/tex]

И выполняется для любого [tex]t > 0[/tex].

Пусть [tex]t=\sqrt{\dfrac{y}{x}}[/tex]. Тогда при любых [tex]x,y > 0[/tex] имеем некоторое [tex]t > 0[/tex] для которого неравенство [tex](*)[/tex] выполняется.

Подставляем это [tex]t[/tex] в [tex](*):[/tex]

[tex]\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\dfrac{y}{x} \ge 1+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\\\sqrt{\dfrac{x}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2}} \ge 1+\sqrt{\dfrac{y}{x}}\;\;(**)[/tex]

Умножим теперь [tex](**)[/tex] на [tex]\sqrt{x}:[/tex]

[tex]\sqrt{\dfrac{x^2}{y}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{x}} \ge \sqrt{x}+\sqrt{y}[/tex]

Отметим, что знак неравенства сохранен, так как [tex]\sqrt{x}[/tex] положителен ([tex]x>0[/tex]).

Доказано!