Решение .

[tex]\bf x < 0\ \ ,\ \ \ 4^{x}+4^{-x}=11[/tex]  .  Найти   [tex]\bf 2^{x}-2^{-x}\ \ ,[/tex]  

Найдём квадрат искомого выражения .

[tex]\bf (2^{x}-2^{-x})^2=2^{2x}-2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}+2^{-2x}=4^{x}-2\cdot \underbrace{\bf 2^0}_{1}+4^{-x}=\\\\=\underbrace{\bf 4^{x}+4^{-x}}_{11}-2=11-2=9\ \ \ \ \Rightarrow \\\\\\(2^{x}-2^{-x})=\pm \sqrt9\\\\2^{x}-2^{-x}=\pm 3[/tex]

Так как    [tex]\bf 0 < 2^{x} < 1\ ,\ \ 2^{-x}=\dfrac{1}{2^{x}} > 1[/tex]    при  [tex]\bf x < 0[/tex] ,  то   [tex]\bf (2^{x}-2^{-x}) < 0[/tex]  .

Поэтому     [tex]\boxed{\ \bf 2^{x}-2^{-x}=-3\ }[/tex]  .