Verified answer

[tex]\begin{cases} x+xy=20y-y^2 \\ y+xy=21x-x^2 \end{cases},\ x,y > 0[/tex]

Сложим уравнения системы:

[tex]x+y+xy+xy=20y+21x-y^2-x^2[/tex]

[tex]x+y+x^2+2xy+y^2=20y+20x+x[/tex]

[tex](x+y)+(x+y)^2=20(x+y)+x[/tex]

[tex]\boxed{(x+y)^2-19(x+y)=x}[/tex]

Теперь умножим обе части первого уравнения на [tex](y+xy)[/tex], причем в правой части вместо этого выражения запишем равное ему выражение [tex](21x-x^2)[/tex]. Поскольку [tex]y+xy=y(1+x)[/tex], то равняется нулю это выражение при неположительных значениях "х" и/или "у". Однако, по условию "х" и "у" - положительные числа, поэтому если при таком умножении и происходит потеря решений, то эти решения не удовлетворяют условию.

После умножения получим:

[tex](x+xy)(y+xy)=(20y-y^2)(21x-x^2)[/tex]

[tex]x(1+y)\cdot y(1+x)=y(20-y)\cdot x(21-x)[/tex]

Поскольку по условию [tex]x\neq 0;\ y\neq 0[/tex], то обе части равенства разделим на [tex]xy[/tex]:

[tex](1+y)(1+x)=(20-y)(21-x)[/tex]

[tex]1+x+y+xy=420-20x-21y+xy[/tex]

[tex]1+x+y=420-20x-21y[/tex]

[tex]1+x+y=420-20x-20y-y[/tex]

[tex]1+(x+y)=420-20(x+y)-y[/tex]

[tex](x+y)+20(x+y)+y=420-1[/tex]

[tex]21(x+y)+y=419[/tex]

Поменяем местами левую и правую части:

[tex]\boxed{419=21(x+y)+y}[/tex]

Сложим левые и правые части равенств, записанных в рамках:

[tex](x+y)^2-19(x+y)+419=x+21(x+y)+y[/tex]

[tex](x+y)^2-19(x+y)-21(x+y)-(x+y)+419=0[/tex]

[tex](x+y)^2-41(x+y)+419=0[/tex]

Решаем квадратное уравнение относительно искомой суммы:

[tex]D=(-41)^2-4\cdot1\cdot419=1681-1676=5[/tex]

[tex]x+y=\dfrac{41\pm\sqrt{5} }{2}[/tex]

Как видно, два найденных значения суммы положительны. Вследствие этого нельзя гарантировать того, что для каждой из этих двух сумм "х" и "у" положительны.

Рассмотрим второе уравнение в рамке:

[tex]419=21(x+y)+y[/tex]

[tex]y=419-21(x+y)[/tex]

С помощью этого уравнения мы сможем найти "у", а зная "у" и зная сумму - впоследствии найти "х". Таким образом, можно будет определить знаки чисел "х" и "у".

Выполним проверку для случая [tex]x+y=\dfrac{41+\sqrt{5} }{2}[/tex]:

[tex]y=419-21\cdot \dfrac{41+\sqrt{5} }{2}=\dfrac{419\cdot2-21(41+\sqrt{5}) }{2}=[/tex]

[tex]=\dfrac{838-861-21\sqrt{5} }{2}=\dfrac{-23-21\sqrt{5} }{2} < 0[/tex]

В этом случае значение "у" отрицательно. Значит, такой ответ не удовлетворяет условию.

Выполним проверку для случая [tex]x+y=\dfrac{41-\sqrt{5} }{2}[/tex]:

[tex]y=419-21\cdot \dfrac{41-\sqrt{5} }{2}=\dfrac{419\cdot2-21(41-\sqrt{5}) }{2}=[/tex]

[tex]=\dfrac{838-861+21\sqrt{5} }{2}=\dfrac{-23+21\sqrt{5} }{2}[/tex]

Числитель оценим следующим образом:

[tex]2=\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} =3[/tex]

[tex]42 < 21\sqrt{5} < 63[/tex]

[tex]19 < 21\sqrt{5} -23 < 40[/tex]

Таким образом, числитель положителен. Значит:

[tex]y=\dfrac{-23+21\sqrt{5} }{2} > 0[/tex]

Найдем "х":

[tex]x=(x+y)-y=\dfrac{41-\sqrt{5} }{2}-\dfrac{-23+21\sqrt{5} }{2}=[/tex]

[tex]=\dfrac{41-\sqrt{5} +23-21\sqrt{5} }{2}=\dfrac{64-22\sqrt{5} }{2}=32-11\sqrt{5}[/tex]

Оценим следующим образом:

[tex]2=\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{6.25} =2.5[/tex]

[tex]22 < 11\sqrt{5} < 27.5[/tex]

[tex]4.5 < 32-11\sqrt{5} < 10[/tex]

Значит:

[tex]x=32-11\sqrt{5} > 0[/tex]

Таким образом, случай [tex]x+y=\dfrac{41-\sqrt{5} }{2}[/tex] удовлетворяет условию.

Решить систему можно было непосредственно выразив переменную "х" из первого уравнения и подставив полученное выражение во второе уравнение. Вся задача будет состоять только в аккуратном преобразовании, в результате которого должно получиться три значения "у": ноль, отрицательное и положительное. Поскольку по условию "у" должен быть положительным, то только для этого значения нужно будет просчитать значение "х", после чего найти требуемую сумму.

Ответ: [tex]\dfrac{41-\sqrt{5} }{2}[/tex]