Уравнение [tex]|f(x)|=b[/tex]:

- при [tex]b < 0[/tex] не имеет корней, так как модуль может принимать только неотрицательные значения;

- при [tex]b=0[/tex] равносильно уравнению [tex]f(x)=b[/tex];

- при [tex]b > 0[/tex] равносильно совокупности уравнений [tex]\left[\begin{array}{l} f(x)=b \\ f(x)=-b \end{array}\right.[/tex].

Рассмотрим уравнение:

[tex]|x+1|+a-2=0[/tex]

[tex]|x+1|=2-a[/tex]

1) При [tex]2-a < 0[/tex], то есть при [tex]a > 2[/tex], уравнение не имеет корней. Эта ситуация нам не подходит.

2) При [tex]2-a=0[/tex], то есть при [tex]a=2[/tex], уравнение равносильно следующему уравнению:

[tex]x+1=0[/tex]

[tex]x=-1[/tex]

Как видно, в этой ситуации уравнение имеет единственный отрицательный корень. Поэтому, эта ситуация также нам не подходит.

3) При [tex]2-a > 0[/tex], то есть при [tex]a < 2[/tex], уравнение равносильно совокупности:

[tex]\left[\begin{array}{l} x+1=2-a \\ x+1=a-2 \end{array}\right.[/tex]

Решаем эту совокупность:

[tex]\left[\begin{array}{l} x=2-a-1 \\ x=a-2-1 \end{array}\right.[/tex]

[tex]\left[\begin{array}{l} x=1-a \\ x=a-3 \end{array}\right.[/tex]

Теперь, нам нужно потребовать, чтобы хотя бы один из найденных корней был положительным. Для этого составляем совокупность неравенств:

[tex]\left[\begin{array}{l} 1-a > 0 \\ a-3 > 0 \end{array}\right.[/tex]

Решаем эту совокупность:

[tex]\left[\begin{array}{l} a < 1 \\ a > 3 \end{array}\right.[/tex]

[tex]a\in(-\infty;\ 1)\cup(3;\ +\infty)[/tex]

Однако, нужно учесть, что все это реализуется, как было отмечено выше, когда правая часть исходного уравнения положительна, то есть при  [tex]a < 2[/tex]. Поэтому, фактически имеем систему:

[tex]\begin{cases} a < 2 \\ a\in(-\infty;\ 1)\cup(3;\ +\infty) \end{cases}[/tex]

Итоговое решение:

[tex]a\in(-\infty;\ 1)[/tex]

Ответ: при [tex]a\in(-\infty;\ 1)[/tex]