Ответ:

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} } \, dx=\frac{1}{3}ln|x-2|+ln|x+2|-\frac{1}{3}ln|x+1|+C[/tex]

Объяснение:

Найти интеграл:

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x^2-4)(x+1)} } \, dx[/tex]

Перепишем интеграл в виде:

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)} } \, dx[/tex]

Так как в знаменателе каждый из двухчленов в первой степени, то данную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей:

[tex]\displaystyle \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+1} \\[/tex]

Освободимся от знаменателя:

[tex]\displaystyle x^2=A(x+2)(x+1)+B(x-2)(x+1)+C(x-2)(x+2)\\\\x^2=Ax^2+3Ax+2A+Bx^2-Bx-2B+Cx^2-4C\\\\x^2=(A+B+C)x^2+(3A-B)x+(2A-2B-4C)[/tex]

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях.

Получим систему:

[tex]\displaystyle \begin{equation*} \begin{cases}A+C+B=1 \\3A-B=0 \\2A-2B-4C=0 \\ \end{cases}\end{equation*}[/tex]

3A - B = 0   ⇒   B = 3A

Подставим В = 3А в первое и третье уравнение:

[tex]\begin{equation*} \begin{cases}A+C+3A=1 \\2A-6A-4C=0 \end{cases}\end{equation*}[/tex]      

[tex]+\begin{equation*} \begin{cases}4A+C=1 \;\;\;\;\; \\-4A-4C=0 \end{cases}\end{equation*}[/tex]

[tex]\displaystyle -3C=1\\\\C=-\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\displaystyle \Rightarrow A=\frac{1}{3},\;\;\;B=1[/tex]

Получим:      

[tex]\displaystyle \frac{x^2}{(x-2)(x+2)(x+1)}=\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{3(x+1)} \\[/tex]

Теперь найдем интеграл:

[tex]\displaystyle \int\limits {\frac{x^2}{(x^2-4)(x+1)} } \, dx=\frac{1}{3} \int\limits {\frac{1}{x-2} } \, dx +\int\limits {\frac{1}{x+2}} \, dx-\frac{1}{3}\int\limits {\frac{1}{x+1} } \, dx =\\ \\ \\=\bf \frac{1}{3}ln|x-2|+ln|x+2|-\frac{1}{3}ln|x+1|+C[/tex]

#SPJ1