Verified answer

Ответ:

Для нахождения корней симметрического многочлена 4 степени, решим уравнение.

 [tex]\bf x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\ \ \Big |:x^2\ne 0[/tex]  

Так как х=0 не является корнем многочлена (проверяем, подставив вместо х число 0 в многочлен), то можно уравнение разделить на х²[tex]\bf x^2+2x-1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \Big(x^2+\dfrac{2}{x^2}\Big)+2\Big(x+\dfrac{1}{x}\Big)-1=0[/tex]  

Замена :   [tex]\bf t=x+\dfrac{1}{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ t^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\ \ ,\ \ \ x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2[/tex]  

Уравнение перепишем в виде  [tex]\bf t^2-2+2t-1=0\ \ ,\ \ t^2+2t-3=0[/tex]  .

Корни кв. уравнения равны   [tex]\bf t_1=-3\ ,\ t_2=1\ \ (Viet)[/tex]  .

Вернёмся к старой переменной .

[tex]\bf a)\ \ x+\dfrac{1}{x}=-3\ \ ,\ \ \dfrac{x^2+3x+1}{x}=0\ \ ,\ \ x^2+3x=1=0\\\\D=b^2-4ac=9-4=5\ \ ,\ \ x_{1,2}=\dfrac{-3\pm \sqrt5}{2}\\\\\\b)\ \ x+\dfrac{1}{x}=-1\ \ ,\ \ \dfrac{x^2+x+1}{x}=0\ \ ,\ \ x^2+x+1=0\\\\D=b^2-4ac=1-4=-3 < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing[/tex]  

Ответ:   [tex]\bf x_1=-\dfrac{3+\sqrt5}{2}\ ,\ x_2=\dfrac{\sqrt5-3}{2}[/tex]   .