Согласно первому признаку Лейбница, каждый последующий член ряда в абсолютной величине должен быть меньше предыдущего. В нашем случае этому условию удовлетворяет ряд:

1/24 > 1/5040 > 1/3628800 > ...

Согласно второму признаку Лейбница предел ряда должен стремиться к 0. В данной ситуации это условие также выполняется.

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{(3n+1)!}=0[/tex]

Согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Теперь остается проанализировать его абсолютную и условную сходимость. Для этого возьмем абсолютное значение данного ряда.

[tex]\displaystyle \left|\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\dfrac{1}{(3n+1)!}\right|=\sum^\infty_{n=1}\dfrac{1}{(3n+1)!}[/tex] - сходящийся по признаку Даламбера, так как

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{(3n+1)!}{(3n+4)!}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{(3n+2)(3n+3)(3n+4)}=0 < 1[/tex]

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно