Решение.

[tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\dfrac{1}{(3n+1)!}[/tex]                  

Проверим выполнение условий признака Лейбница сходимости знакопеременных рядов .

[tex]\bf 1)\ \ |a_1| > |a_2| > |a_3| > \ ...\\\\|a_{n}|=\dfrac{1}{(3n+1)!}\ \ ,\ \ \ \ \ \dfrac{1}{4!} > \dfrac{1}{7!} > \dfrac{1}{10!} > ...\\\\\\2)\ \ \lim\limits_{n \to \infty}|a_{n}|= \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{(3n+1)!}=\Big[\dfrac{1}{\infty }\Big]=0[/tex]        

Условия признака Лейбница выполнены . Ряд сходится по признаку Лейбница .

Проверим на абсолютную сходимость . Применим признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин , то есть к ряду    [tex]\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{(3n+1)!}[/tex]    .

[tex]\bf \displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{1}{(3n+4)!}:\frac{1}{(3n+1)!}=\lim\limits_{n \to \infty}\, \frac{(3n+1)!}{(3n+4)!}=\\\\\\=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{(3n+2)(3n+3)(3n+4)}=0 < 1[/tex]  

Ряд, составленный из абсолютных величин, сходится .

Исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно .