По формуле Тейлора, около некоторой окрестности точки [tex]x_0[/tex] для функции [tex]f(x)\in C^{\infty}(x_0)[/tex]:

[tex]\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.[/tex]

Для [tex]f(x)=\mathop{\mathrm{sh}} x[/tex] имеем

[tex]\displaystyle f^{(n)}(x)=\begin{cases}\mathop{\mathrm{sh}} x, &n=0,\, 2,\, 4,\, 6,\dotsc\\ \mathop{\mathrm{ch}} x, &n=1,\, 3,\, 5,\, 7,\dotsc \end{cases},[/tex] то есть

[tex]\displaystyle f^{(n)}(x_0=0)=\begin{cases}0, &n=0,\, 2,\, 4,\, 6,\dotsc\\ 1, &n=1,\, 3,\, 5,\, 7,\dotsc \end{cases}[/tex].

Так,

[tex]\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!},\quad f(x)=\mathop{\mathrm{sh}} x,[/tex]

с радиусом сходимости [tex]\displaystyle R = 1/\overline{\lim}_{n\to\infty}}\bigg|\frac{c_{n+1}}{c_n}\bigg|,\quad c_n = \frac{1}{(2n+1)!},[/tex] то есть

[tex]\displaystyle R = 1/\overline{\lim}_{n\to\infty}\frac{1}{2n+2} = 1/0 \to \infty.[/tex]

Значит, область [tex]D[/tex] сходимости ряда совпадает со всей числовой прямой: [tex]D = \mathbb{R}[/tex].

Ответ. [tex]\displaystyle f(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb{R}.[/tex]