Ответ:

[tex]$ sh \ x = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Область сходимости [tex](-\infty; \infty)[/tex]

Объяснение:

Ряд Маклорена:

[tex]$ f(x) = \cfrac{f(x_0)x^0}{0!} + \cfrac{f'(x_0)x^1}{1!} + \cfrac{f''(x_2)x^2}{2!} + \dots[/tex]

[tex]f(x) = sh \ x = \cfrac{e^x-e^{-x}}{2}, \ f(x_0) = sh \ 0 = \cfrac{e^0-e^{-0}}{2} = 0\\f'(x) = ch \ x = \cfrac{e^x+e^{-x}}{2}, \ f'(x_0) = ch \ 0 = \cfrac{e^0+e^{-0}}{2} = 1\\f''(x) = shx, \ f'''(x) = chx \ \dots[/tex]

[tex]$ sh \ x = \cfrac{f'(x_0)x^1}{1!} + \cfrac{f'''(x_0)x^3}{3!} + \cfrac{f^{(5)}(x_0)x^5}{5!} + \dots = \sum^{\infty}_{n=0} \cfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]

Найдем радиус области сходимости ряда (-R; R):

[tex]$ R = \lim_{n \to \infty} \cfrac{a_{n}}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{\cfrac{1}{(2n+1)!}}{\cfrac{1}{(2n+3)!}} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{(2n+3)!}{(2n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(2n+1)!} =[/tex][tex]$= \lim_{n \to \infty} (2n+3)(2n+1) = \infty[/tex]

Значит, ряд сходится при любом значении x:

[tex]x \in (-\infty; \infty)[/tex]