Ответ:

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции.

База: для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 утверждение верно. Действительно, произведение двух чисел из этих чисел равно 0, а сумма двух чисел равна 1.

Шаг индукции: предположим, что утверждение верно для всех натуральных чисел от 1 до n. Рассмотрим n+1. Если n+1 - натуральное число, то оно равно произведению двух натуральных чисел p и q, где p ≠ q. Тогда (p-q)² = (p² - pq + q²) - 2pq = p² + q² - 2p*q = (p+q)² - (p-q). Поскольку (p+q) > 0 и (p-q) ≠ 0 (так как p ≠ q), то (p+q)(p-q) > 0. Таким образом, (p-q)(p+q) - это произведение двух натуральных чисел, одно из которых не меньше 1 и не больше n+1, а другое не меньше 0 и не больше (n+1)/2. Следовательно, утверждение верно и для числа n+1.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n можно выбрать пару чисел с одинаковыми произведениями и суммами.