Verified answer

Ответ:

1)  Домножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряжённое числителю и знаменателю . Тогда можно будет применить формулу разности квадратов   [tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex] .

[tex]\bf \lim\limits_{m \to 4}\,\dfrac{\sqrt{6m+1}-5}{\sqrt{m}-2}=\lim\limits_{m \to 4}\,\dfrac{(\sqrt{6m+1}-5)(\sqrt{6m+1}+5)(\sqrt{m}+2)}{(\sqrt{m}-2)(\sqrt{m}+2)(\sqrt{6m+1}+5)}=\\\\\\=\lim\limits_{m \to 4}\, \dfrac{(6m+1-25)(\sqrt{m}+2)}{(m-4)(\sqrt{6m+1}+5)}=\lim\limits_{m \to 4}\, \dfrac{(6m-24)(\sqrt{m}+2)}{(m-4)(\sqrt{6m+1}+5)}=[/tex]

[tex]\bf =\lim\limits_{m \to 4}\, \dfrac{6\, (m-4)(\sqrt{m}+2)}{(m-4)(\sqrt{6m+1}+5)}=\lim\limits_{m \to 4}\, \dfrac{6\, (\sqrt{m}+2)}{\sqrt{6m+1}+5}=\dfrac{6\, (2+2)}{5+5}=\dfrac{24}{10}=\\\\=2,4[/tex]  

3) Дифференциал функции вычисляем по формуле  [tex]\bf dy=y'(x)\cdot dx[/tex]  .

      [tex]\bf y=cos^34x\cdot arcctg\sqrt{x}[/tex]  

Производная произведения равна  [tex]\bf (uv)'=u'v+uv'[/tex]  .

[tex]\bf y'=3cos^24x\cdot (-sin4x)\cdot 4\cdot arcctg\sqrt{\bf x}+cos^34x\cdot \dfrac{-1}{1+(\sqrt{\bf x})^2}\cdot \dfrac{1}{\bf 2\sqrt{\bf x}}\\\\\\dy=\Big(-6\, cos4x\cdot sin8x\cdot arcctg\sqrtbf x}-\dfrac{cos^34x}{2\sqrt{\bf x}\, (\bf 1+x)}\Big)\, dx[/tex]