Verified answer

Ответ:

Дифференциал функции вычисляем по формуле  [tex]\bf dy=y'(x)\cdot dx[/tex]  .

      [tex]\bf y=cos^34x\cdot arcctg\sqrt{x}[/tex]  

Производная произведения равна  [tex]\bf (uv)'=u'v+uv'[/tex]  .

При нахождении производных сложных функций учитываем правило :

[tex]\bf f'(\, u(x)\, )=f'_{u}\cdot u'_{x}\ \ \Rightarrow \ \ \ (u^{n})'=n\cdot u^{n-1}\cdot u'\ \ ,\ \ (arcctgu)'=-\dfrac{1}{1+u^2}\cdot u'[/tex]  

[tex]\bf (cosu)'=-sinu\cdot u'\ \ ,\ \ \ (\sqrt{u})'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'[/tex]  

[tex]\bf y'=3cos^24x\cdot (-sin4x)\cdot 4\cdot arcctg\sqrt{\bf x}+cos^34x\cdot \dfrac{-1}{1+(\sqrt{\bf x})^2}\cdot \dfrac{1}{\bf 2\sqrt{\bf x}}\\\\\\dy=\Big(-6\, cos4x\cdot sin8x\cdot arcctg\sqrtbf x}-\dfrac{cos^34x}{2\sqrt{\bf x}\, (\bf 1+x)}\Big)\, dx[/tex]