Verified answer

Ответ:  [tex]\bf V=864\sqrt3[/tex]  см³  .

Дана прямая призма , в основании ромб с острым углом в 60° ,

∠А=∠С=60° , сторона ромба АВ=12 см .

Меньшее диагональное сечение ВВ₁D₁D - квадрат, поэтому высота

призмы АА₁ = BB₁ = BD .  Найти объём призмы .

Объём призмы равен   [tex]\bf V=S_{osn.}\cdot h[/tex]  , поэтому  [tex]\bf V=S_{ABCD}\cdot AA_1[/tex]  .

Площадь ромба можно вычислить , как и площадь любого

параллелограмма, по формуле   [tex]\bf S=ab\cdot sin\varphi[/tex]  .

[tex]\bf S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot sin60^\circ =12\cdot 12\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}=72\sqrt3[/tex]   (см²)  .

Найдём диагональ BD ромба ABCD, которая является стороной квадрата  BB₁D₁D (сечения), учитывая, что сторона ромба =  12 см .

Так как в ΔАВD стороны AB=AD , то этот треугольник равнобедрен-

ный, причём ∠А=60° . Значит этот треугольник имеет все оставшиеся

углы по 60° и является равносторонним , то есть  AB=AD=BD=12 cм .

АА₁=BD=12 см  

[tex]\bf V=72\sqrt3\cdot 12=864\sqrt3[/tex]   (см³)

P.S.  Можно было применить теорему косинусов.

[tex]\bf BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot cos60^\circ \\\\BD^2=12^2+12^2-2\cdot 12\cdot 12\cdot \dfrac{1}{2}\\\\BD^2=288-144\ \ ,\ \ BD^2=144\ \ ,\ \ BD=12[/tex]