Verified answer

Объяснение:

4.

O -середина АВ и А1В1 по условию, значит

АО=ВО и А1О=В1О.

1.

∆А1ОА и ∆В1ОВ

А1О=В1О

АО=В1О

∠А1ОА=∠В1ОВ - как вертикальные

∆А1ОА=∆В1ОВ по 2 сторонам и углу между ними (1 признак), значит соответственные элементы равны, следовательно,АА1=ВВ1.

2.

соединяем А1В и АВ1.

∆А1ОА=∆В1ОВ - доказано выше.

∠АА1В1=∠ВВ1А1 являются накрест лежащими при параллельных А1А иВ1В и секущей А1В1, значит А1А иВ1В являются параллельным.

∆А1ОВ=∆В1ОА по 2 сторонам и углу между ними (А1О=В1О ; АО=ОВ;

∠А1ОВ=∠В1ОА - как вертикальные), следовательно,А1В=АВ1.

∠А1ВА=∠ВАВ1 -как накрест лежащие при параллельных А1В и АВ1 и секущей АВ.

Следовательно ,

АА1ВВ1-паралеллограмм.

Любая диагональ паралеллограмма делит его на два равных треугольника:

∆АА1В1=∆В1ВА1

А1К=АК- по условию и А1О=ОВ1- по условию , значит КО - средняя линия треугольника АА1В1.

ВК=В1К - по условию и АО=ОВ - по условию, значит ОК1 - средняя линия ∆В1ВА1.

КК1=КО+ОК1, значит точки К и К1 лежат на одной прямой проходящей через точку О.