Verified answer

Ответ:

              [tex]\displaystyle \bf z=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}[/tex]  

[tex]\displaystyle \bf z'_{x}=\Big(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\Big)'_{x}=y\cdot \frac{-1}{x^2}-\frac{1}{y}\cdot 1=-\frac{y}{x^2}-\frac{1}{y}\ \ ,\ \ \ x\ne 0\ ,\ y\ne 0\\\\\\\displaystyle \bf z'_{y}=\Big(\frac{y}{x}-\frac{x}{y}\Big)'_{y}=\frac{1}{x}\cdot 1-x\cdot \frac{-1}{y^2}=\frac{1}{x}+\frac{x}{y^2}\ \ ,\ \ \ x\ne 0\ ,\ y\ne 0[/tex]

[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf -\dfrac{y}{x^2}-\dfrac{1}{y}=0\\\bf \dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{y^2}=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf \dfrac{-y^2-x^2}{yx^2}=0\\\bf \dfrac{x^2+y^2}{xy^2}=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf -(x^2+y^2)=0\ , \ x\ne 0\ ,\ y\ne 0\\\bf x^2+y^2=0\ ,\ x\ne 0\ ,\ y\ne 0\end{array}\right\ \ \ \bf \Rightarrow[/tex]

Из уравнения  [tex]\bf x^2+y^2=0[/tex]   следует, что  х=0 и у=0 , но так как должно выполняться условие х≠0 и у≠0, то не существует ни одной точки, в которой частные 1 порядка равны 0.