Объяснение:

Ніби все правильно.......

Verified answer

Ответ:

[tex]cosx\cdot y'+y\cdot sinx=y^2\ \ ,\ \ \ y(0)=1\\\\y'+tgx\cdot y=\dfrac{y^2}{cosx}[/tex]  

Уравнение Бернулли. Сделаем замену  [tex]y=uv\ ,\ \ y'=u'v =uv'[/tex]  .

[tex]\displaystyle u'v+uv'+uv\cdot tgx=\dfrac{u^2v^2}{cosx}\ \ \Rightarrow \ \ u'v+u\cdot (v'+v\cdot tgx)=\dfrac{u^2v^2}{cosx}\ ,\\\\\\a)\ \ v'+v\cdot tgx=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=-v\cdot tgx\ \ ,\ \ \int \frac{dv}{v}=\int tgx\, dx\ \ ,\\\\\int \frac{dv}{v}=\int \frac{sinx}{cosx}\, dx\ \ ,\ \ \ \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{d(cosx)}{cosx}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|cosx|\ ,\ v=\frac{1}{cosx}[/tex]

[tex]\displaystyle b)\ \ u'v=\frac{u^2v^2}{cosx}\ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{du}{dx}\cdot \frac{1}{cosx}=\frac{u^2}{cos^3x}\ \ ,\ \ \int \frac{du}{u^2}=\int \frac{dx}{cos^2x}\ ,\\\\\\\frac{u^{-1}}{-1}=tgx+C\ \ ,\ \ \ -\frac{1}{u}=tgx+C\ \ ,\ \ u=-\frac{1}{tgx+C}\\\\\\c)\ \ y=-\frac{1}{cosx}\cdot \frac{1}{tgx+C}\ \ ,\ \ \ y_{obshee}=-\frac{1}{sinx+C\cdot cosx}[/tex]

Получили общее решение .

[tex]\displaystyle d)\ \ y(0)=-1:\ \ -1=-\frac{1}{sin0+C\cdot cos0}\ \ ,\ \ 1=\frac{1}{C}\ \ ,\ \ C=1\\\\\\y_{chastnoe}=-\frac{1}{sinx+cosx}[/tex]

Получили частное решение .