Verified answer

Ответ:

[tex]1)\ \ y=2,4^{arctgx}[/tex]

Первую производную находим по правилу дифференцирования показательной функций .  

[tex]y'=\dfrac{dy}{dx}=2,4^{arctgx}\cdot ln2,4\cdot \dfrac{1}{1+x^2}[/tex]

Вторую производную находим как производную произведения функций .

[tex]y''=(y')'=\dfrac{d^2y}{dx^2}=\Big(2,4^{arctgx}\Big)'\cdot ln2,4\cdot \dfrac{1}{1+x^2}+2,4^{arctgx}\cdot ln2,4\cdot \Big(\dfrac{1}{1+x^2}\Big)'=\\\\\\=2,4^{arctgx}\cdot \dfrac{1}{1+x^2}\cdot ln2,4\cdot \dfrac{1}{1+x^2}+2,4^{arctgx}\cdot ln2,4\cdot \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}=\\\\\\=2,4^{arctgx}\cdot \dfrac{ln2,4}{(1+x^2)^2}-2,4^{arctgx}\cdot \dfrac{2x\cdot ln2,4}{(1+x^2)^2}=2,4^{arctgx}\cdot \dfrac{ln2,4\cdot (1-2x)}{(1+x^2)^2}[/tex]  

[tex]2)\ \ \left\{\begin{array}{l}x=t+e^{t}\\y=ln(t^3+t)\end{array}\right[/tex]

Производная функции , заданной параметрически  [tex]y'_{x}=\dfrac{y'_{t}}{x'_{t}}[/tex]   .

[tex]y'_{t}=\dfrac{3t^2+1}{t^3+t}\ \ ,\ \ \ \ x'_{t}=1+e^{t}\\\\\\y'_{x}=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2+1}{(t^3+t)(1+e^{t})}[/tex]  

Вторая производная   [tex]y''_{xx}=\dfrac{y''_{tt}}{x'_{t}}[/tex]  .

[tex]y''_{tt}=\Big(\dfrac{3t^2+1}{(t^3+t)(1+e^{t})}\Big)'_{t}=\\\\\\=\dfrac{6t(t^3+t)(1+e^{t})-(3t^2+1)\cdot ((3t^2+1)(1+e^{t})+(t^3+t)e^{t})}{(t^3+t)^2(1+e^{t})^2}\\\\\\y''_{xx}=\dfrac{6t(t^3+t)(1+e^{t})-(3t^2+1)\cdot ((3t^2+1)(1+e^{t})+(t^3+t)e^{t})}{(t^3+t)^2(1+e^{t})^3}[/tex]