Verified answer

Ответ:

              [tex]f(x)=\dfrac{4}{2-x}\ \ ,\ \ x_0=-1[/tex]  

Так как   [tex]x_0=-1[/tex]  , то разложить функцию в ряд Тейлора надо по

степеням  [tex](x-x_0)=(x+1)[/tex]  .

Чтобы воспользоваться уже известными разложениями функций в ряд Маклорена, сделаем замену  [tex]\tilde{x}=x+1\ \ \ \to \ \ \ x=\tilde{x}-1[/tex]  .

Тогда  [tex]f(x)=\dfrac{4}{2-x}=\dfrac{4}{2-(\tilde{x}-1)}=\dfrac{4}{3-\tilde{x}}=\dfrac{4}{3\cdot (1-\dfrac{\tilde{x}}{3})}=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{\tilde{x}}{3}}[/tex]    .

Воспользуемся известным разложением в ряд Маклорена    

[tex]\dfrac{1}{1-t}=1+t+t^2+t^3+...+t^{n}+...\ \ ,\ \ -1 < t < 1\ -\ interval\ sxodimosti[/tex]  ,  

причём   [tex]t=\dfrac{\tilde{x}}{3}[/tex]   .

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}\cdot \Big(1+\frac{\tilde{x}}{3}+\Big(\frac{\tilde{x}}{3}\Big)^2+\Big(\frac{\tilde{x}}{3}\Big)^3+\Big(\frac{\tilde{x}}{3}\Big)^4+...+\Big(\frac{\tilde{x}}{3}\Big)^{n}+...\Big)=\\\\\\=\frac{4}{3}\cdot \Big(1+\frac{\tilde{x}}{3}+\frac{\tilde{x}^2}{3^2}+\frac{\tilde{x}^3}{3^3}+\frac{\tilde{x}^4}{3^4}+...+\frac{\tilde{x}^{n}}{3^{n}}+...\Big)=[/tex]

[tex]\displaystyle =\frac{4}{3}+\frac{4\tilde{x}}{3^2}+\frac{4\tilde{x}^2}{3^3}+\frac{4\tilde{x}^3}{3^4}+\frac{4\tilde{x}^4}{3^5}+...+\frac{4\tilde{x}^{n}}{3^{n+1}}+...[/tex]

Сделаем обратную замену  [tex]\displaystyle \tilde{x}=x+1[/tex]  , получим ряд

    [tex]f(x)\sim \dfrac{4}{3}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{4(x+1)^{n}}{3^{n+1}}[/tex]  .

 Интервал сходимости ряда:   [tex]-1 < \dfrac{\tilde{x}}{3} < 1\ \ \Rightarrow \ \ \ -3 < \tilde{x} < 3\ \ ,\ \ -3 < x+1 < 3\ \ ,\ \ \underline{-4 < x < 2}[/tex]  

При х=2:    [tex]\dfrac{4}{3}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{4\cdot 3^{n}}{3^{n+1}}=\dfrac{4}{3}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{4}{3}[/tex]    - расходящийся ряд, не выполняется необходимый признак сходимости .

При х= -4:   [tex]\dfrac{4}{3}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{4\cdot (-3)^{n}}{3^{n+1}}=\dfrac{4}{3}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n}\cdot 4}{3}[/tex]  - расходящийся ряд, не выполняются условия признака Лейбница .

Окончательно , интервал сходимости  [tex]x\in (\, -4\, ;\ 2\ )[/tex]  .