Verified answer

Ответ:

              [tex]\bf S=ln\Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{t}\Big)\ \ ,\ \ \ \dfrac{\partial ^2S}{\partial x\, \partial t}-\dfrac{\partial^2S }{\partial x^2}=\dfrac{1}{x^2}[/tex]  

Проверим верность равенства. Найдём частные производные .

[tex]\bf \dfrac{\partial S}{\partial x}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{t}}\cdot \dfrac{-1}{x^2}=-\dfrac{x\, t}{x^2\, (t-x)}=\dfrac{t}{x\, (t-x)}=\dfrac{t}{x\, t-x^2}\\\\\\\dfrac{\partial ^2S}{\partial x\, \partial t}=\dfrac{1\cdot x\, (t-x)-t\, x}{x^2\, (t-x)^2}=-\dfrac{x^2}{x^2\, (t-x)^2}=\dfrac{1}{(t-x)^2}[/tex]

[tex]\bf \dfrac{\partial ^2S}{\partial x^2}=\dfrac{-t\cdot (t-2x)}{x^2\, (t-x)^2}=\dfrac{t\, (2x-t)}{x^2\, (t-x)^2}[/tex]

Подставим найденные производные в уравнение .

[tex]\displaystyle \bf \dfrac{\partial ^2S}{\partial x\, \partial t}-\dfrac{\partial^2S }{\partial x^2}=\dfrac{1}{(t-x)^2}-\dfrac{t\, (2x-t)}{x^2\. (t-x)^2}=\dfrac{x^2-2\, tx+t^2}{x^2\, (t-x)^2}=\frac{(x-t)^2}{x^2(t-x)^2}=\\\\\\=\dfrac{(t-x)^2}{x^2\, (t-x)^2}=\frac{1}{x^2}\\\\\\\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}[/tex]  

Равенство верно  ⇒   заданная функция  S(x,t)  является решением

заданного дифференциального уравнения .

Ответ: является.

Объяснение:

[tex]\displaystyle\\s=ln(\frac{1}{x}-\frac{1}{t})\\\\ \frac{\partial s}{\partial x}= (ln(\frac{1}{x} -\frac{1}{t}))'_x =(ln\frac{t-x}{xt} )'_x=\frac{1}{\frac{t-x}{xt} } *(\frac{t-x}{xt})'_x =\frac{tx}{t-x}*\frac{(t-x)'*xt-(xt)'*(t-x)}{(xt)^2}=\\\\ =\frac{xt}{t-x} *\frac{-1*xt-t(t-x)}{(xt)^2} =\frac{-xt-t^2+xt}{(t-x)*xt}=\frac{-t^2}{xt(t-x)}=\frac{t}{x(x-t)}=\frac{t}{x^2-xt} .[/tex]

[tex]\displaystyle\\\frac{\partial ^2s}{\partial x\partial t} =(\frac{t}{x^2-xt} )'_t=\frac{t'*(x^2-xt)-t*(x^2-xt)'}{(x^2-xt)^2} =\frac{1*(x^2-xt)-t*(-x)}{(x^2-xt)^2}= \\\\=\frac{x^2-xt+xt}{(x^2-xt)^2}=\frac{x^2}{(x^2-xt)^2} .[/tex]

[tex]\displaystyle\\\frac{\partial ^2s}{\hartial x^2} =(\frac{t}{x^2-xt})'_x=\frac{t'*(x^2-xt)-t*(x^2-xt)'}{(x^2-xt)^2} =\frac{0*(x^2-xt)-t*(2x-t)}{(x^2-xt)^2} =\\\\=\frac{0+t^2-2xt}{(x^2-xt)^2} =\frac{t^2-2xt}{(x^2-xt)^2} .[/tex]

[tex]\displaystyle\\\frac{\partial^2 s}{\partial x\partial t} +\frac{\partial^2s}{\partial x^2} =\frac{x^2}{(x^2-xt)^2}+\frac{t^2-2xt}{(x^2-xt)^2}=\frac{x^2-2xt+t^2}{(x*(x-t))^2} =\frac{(x-t)^2}{x^2*(x-t)^2}=\frac{1}{x^2}.[/tex]