Сначала найдем все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx = √3/2. Так как sin(π/3) = √3/2, то x = π/3 или x = 2π/3.
Далее, так как sinx - монотонно возрастающая функция на интервале [0, π], то неравенство sinx ≥ √3/2 выполнено для всех x из интервала [π/3, π/2] и [3π/2, 2π].
Answers & Comments
Решение неравенства sinx ≥ √3/2:
Сначала найдем все значения x на интервале [0, 2π], для которых sinx = √3/2. Так как sin(π/3) = √3/2, то x = π/3 или x = 2π/3.
Далее, так как sinx - монотонно возрастающая функция на интервале [0, π], то неравенство sinx ≥ √3/2 выполнено для всех x из интервала [π/3, π/2] и [3π/2, 2π].
Ответ: x ∈ [π/3, π/2] ∪ [3π/2, 2π].
Решение неравенства tg2x ≥ √3:
Заметим, что tg2x = 2tgx/(1-tg²x). Поэтому, неравенство tg2x ≥ √3 эквивалентно неравенству:
2tgx/(1-tg²x) ≥ √3.
Преобразуем это неравенство:
2tgx ≥ √3(1-tg²x) = √3 - √3tg²x.
tg²x(√3 - 2) + 2tgx - √3 ≥ 0.
Решаем квадратное неравенство относительно tgx:
D = 1 + 3(√3 - 2)² = 10 - 12√3 < 0.
Значит, tg²x(√3 - 2) + 2tgx - √3 < 0 для всех x.
Ответ: нет решений.
Решение неравенства cos(2x - π/4) < √3/2:
cos(2x - π/4) = cos2x/sqrt(2) + sin2x/sqrt(2). Поэтому, неравенство cos(2x - π/4) < √3/2 эквивалентно неравенству:
cos2x/sqrt(2) + sin2x/sqrt(2) < √3/2.
Перенесем все на одну сторону и возводим в квадрат:
cos²2x/2 - √3cos2x sin2x + sin²2x/2 < 3/4.
1/2 - sin4x/2 - √3cos2x sin2x < 3/4.
sin4x/2 + √3cos2x sin2x > -1/4.
sin4x + 2√3cos2x sin2x > -1/2.
(sin2x + √3cos2x)² - 3cos²2x > -1/4.
(sin2x + √3cos2x)² > 3/4.
|sin2x + √3cos2x| > √3/2.
Заметим, что |sin2x + √3cos2x| ≤ sqrt(2(1+cos2x)) = sqrt(4cos²(x) + 2)
Так как sin2x + √3cos2x ≥ 0 всегда, то из неравенства |sin2x + √3cos2x| > √3/2 следует, что sin2x + √3cos2x > √3/2.
Решим систему неравенств:
sin2x + √3cos2x > √3/2,
cos2x > 0.
Первое неравенство эквивалентно неравенству:
sin2x/√3 > cos2x/2.
Возведем обе части в квадрат и применим формулу cos2x = 1 - 2sin²x:
3sin²2x > cos²2x.
3sin²2x > 1 - 2sin²2x.
5sin²2x > 1.
sin²2x > 1/5.
Отсюда получаем, что |sin2x| > 1/√5.
Так как sin2x > 0, то sin2x > 1/√5.
Из условия cos2x > 0 следует, что x принадлежит одному из следующих интервалов: (0, π/4), (π/2, 3π/4), (π, 5π/4), (3π/2, 7π/4).
Таким образом, решение системы неравенств имеет вид:
x ∈ (0, π/4) ∪ (π/2, 3π/4) ∪ (π, 5π/4) ∪ (3π/2, 7π/4).
Ответ: x ∈ (0, π/4) ∪ (π/2, 3π/4) ∪ (π, 5π/4) ∪ (3π/2, 7π/4).