Формула суммы синусов:

[tex]\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2} \cos\dfrac{x-y}{2}[/tex]

Формула суммы косинусов:

[tex]\cos x+\cos y=2\cos \dfrac{x+y}{2} \cos\dfrac{x-y}{2}[/tex]

Рассмотрим выражение:

[tex]\dfrac{\cos5a+\cos9a}{\sin5a+\sin9a} =\dfrac{2\cos\dfrac{5a+9a}{2} \cos\dfrac{5a-9a}{2}}{2\sin\dfrac{5a+9a}{2} \cos\dfrac{5a-9a}{2}} =[/tex]

[tex]=\dfrac{2\cos7a \cos(-2a)}{2\sin7a \cos(-2a)} =\dfrac{\cos7a }{\sin7a } =\boxed{\mathrm{ctg}{\,}7a}[/tex]