Verified answer

См. чертеж. 

ОС перпендикулярно АВ, ОМ = ОС/2, поэтому ОВСЕ - ромб. Причем у этого ромба меньшая диагональ равна радиусу. 

Площадь треугольника ОВЕ Sobe = R^2*корень(3)/4;

Угол ВОЕ = 2*pi/3; Площадь кругового сектора ОВСЕ =S/3; S =  pi*R^2; площадь сегмента ВСЕ между дугой ВСЕ и хордой ВЕ равна  S/3 - Sobe; искомая площадь равна S/2 - (S/3 - Sobe) = S/6 + Sobe = pi*R^2/6 + R^2*корень(3)/4 = 

= R^2*(pi/6 + корень(3)/4);