Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Доказать, что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (√3- 1)/2.
Answers & Comments
Verified answer
В треуг.АВС проведем высоту ВК к основанию АС.
ВК - высота,биссектриса и медиана,делит треуг.АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС
В треуг.АВК АВ=1 - гипотенуза
АК=1:2=0,5 - катет
ВК2=АВ2-АК2 - катет
ВК=корень из 1*1-0,5*0,5=0,87
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
r=(р-а)(р-b)(p-c)/p
r=ab/(a+b+c)
r=(a+b-c)/2
r=(0,5+0,87-1)/2
r=0,185
2r=0,185*2=0,37
(корень из 3 - 1)/2= 0,37
0,37=0,37
Ответ:сумма радиусов не меньше,чем 0,37