Вася играет сам с собой в игру. Вначале он пишет на доске положительное число (не обязательно целое). За один ход он может стереть наименьшее число (одно из наименьших, если их несколько), разбить его на два положительных слагаемых х и у и записать на доску два числа 2;г и 3;у (например, стерев число 3, можно записать '2 и 6, что соответствует х = 1, у = 2). Может ли Вася добиться того, чтобы в тот момент, когда на доске окажутся 2011 чисел, все они были равны единице?
Answers & Comments
Verified answer
Вася стирает число a=x+y
вместо него он получит два числа 2x и 3y, сумма которых
2x+3y=2x+2y+y=2(x+y)+y=2a+y>2a (y>0)
то есть делая ход Вася увеличивает сумму уже имеющихся у него чисел на число большее числа которое он стирает
(сумма чисел возрастает на удвоенное число которое Вася стирает плюс еще какоето положительное число)
если он дошел до момента что у него 2010 чисел
1) среди них есть хотя бы не одна единица - число А,
А>1, он стирает одну из 1 так как она меньше числа А
и у него в лучшем случае стает 2009-1+2=2010 единиц, а надо 2011
2) все 2010 полученных чисел 1, тогда он стирает одну из единиц, а сумма всех чисел возрастет больше чем на две единицы(см. выше), и сумма окажется больше 2011=1+1+1+...1 (2011 раз)
3) пусть среди 2010 чисел двое чисел хотя бы меньше 1, тогда стерев одно из них, на следующем ходу у него останется одна не 1
3) (2009 единиц и число 5\6)
пусть среди 2010 чисел только одно из чисел B<1, остальные 2009 чисел - единицы, тогда ему нужно разбить число В на два числа так, чтобы и число "2x" и "3y" (B=x+y)
были равны 1 но тогда число х=1\2 а число y=1\3
значит число В=1\2+1\3=5\6
очевидно, что на предыдущем ходу он получил 1 и число В=5\6
(5\6 меньше 1, и он бы должен был стирать 5\6 если бы оно появилось раньше, а не одну из 1, других чисел у него нет)
на предыдущем ходе
у него было 2008 единиц и какоето число С, из которого он получил 1 и 5\6
так как он стер число С, то оно меньше или равно1
если С=1, то 1=x+y
и 2x=1 3y=5\6 (x=1\2 y=5\18 и тогда x+y не равно 1)
или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 и тогда x+y не равно 1).
если С<1, то x+y=C<1
и 2x=1 3y=5\6 (x=1\2 y=5\18 C=14\18=7\9)
или 3x=1 2y=5\6 (x=1\3 y=5\12 C=9\12=3\4).
1.1.значит у него было 2008 единиц и число 7\9 или
1.2. 2008 единиц и число 3\4
(2006 единиц и число D получает 2007 единиц и число 7\9)
D=x+y<=1
D=1
(2x=1 3y=7\9 x=1\2 y=7\27 x+y не равно 1
2x=7\9 3y=1 x=7\18 y=1\3 x+y не равно1)
D<1
2x=1 3y=7\9 x=1\2 y=7\27 x+y=D=41\54
2x=7\9 3y=1 x=7\18 y=1\3 x+y=D=13\18)
(2006 единиц и число D получает 2007 единиц и число 3\4)
D=1
(2x=1 3y=3\4 x=1\2 y=3\12 x+y не равно 1
2x=3\4 3y=1 x=3\8 y=1\3 x+y не равно1)
D<1
2x=1 3y=3\4 x=1\2 y=1\4 x+y=D=3\4
2x=3\4 3y=1 x=3\8 y=1\3 x+y=D=11\24)
таким образом напрашивается
3\4 стираем
3\4=1\2+1\4
получаем 1=2*1\2 и 3\4=3*1\4
так делаем 2007 раз, (получаем 1 и 3\4 стирая 3\4)
на 2008 раз стираем 3\4
3\4=9\12=4\12+5\12=1\3+5\12
получаем 1=3*1\3 и 5\6=2*5\12
получаем 2009 единиц и число 5\6(5\6 меньше 1)
5\6=1\2+1\3
1=2*1\2 1=3*1\3
получаем 2011 единиц
ответ: можно