.
Здравствуйте.
На медиане ВМ треугольника АВС взята точка D. Через нее проведена прямая, параллельная стороне АВ, а через точку С проведена прямая, параллельная медиане ВМ. Две проведённые прямые пересекаются в точке Е. Докажите, что ВЕ = АD
Спасибо.
Answers & Comments
Verified answer
Продолжим АВ и СЕ до пересечения в точке К.
Тогда АВ = ВК по теореме Фалеса (АМ = МС, ВМ||СК).
ВКЕD - параллелограмм, так как его стороны попарно параллельны.
Значит DЕ = ВК и следовательно DЕ = АВ.
АВЕD - тоже параллелограмм, по признаку параллелограмма: АВ = DЕ, АВ||DЕ.
Значит АD = ВЕ ч.т.д.
1. Продолжим прямые АВ и СЕ. К - точка пересечения АВ и СЕ.
2. АВ = ВК - (по теореме Фалеса)
3. Рассмотрим четырехуг. ВКЕD
ВК || ED, BD || KE ⇒ BKED - параллелограм.
Отсюда, DЕ = ВК ⇒ DЕ = АВ.
4. Рассмотрим четырехуг. АВЕD.
AB||DE, DE = AB ⇒ ABED - параллелограм.
5. Так как у параллелограма противоположные стороны равны, имеем
ВЕ = АD, что и требовалось доказать.