Ответ:

y=5x-3

Объяснение:

Разберём задание поэтапно и решим его:

1. Условие:

у=х^4+х

Х0=1

----------------------------------------------------

Написать уравнение касательной

2. Для начло мы должны разобрать как выглядит уравнение касательной:

[tex]y=f(x_{0} )+f'(x_{0} )*(x-x_{0})[/tex]

3. Зная как выглядит уравнения найдем все не известные части уравнения.

3.1)

[tex]f(x_{0} )-?[/tex]

Для того чтобы найти данную часть уравнения, просто подставим значение х0 в нашу функцию:

[tex]f(x_{0})=x^{4} +x\\\\f(x_{0})=1+1\\\\f(x_{0})=2[/tex]

Вот мы и нашли первую неизвестную часть нашего уравнения.

3.2)

[tex]f'(x_{0}) -?[/tex]

Чтобы найти вторую неизвестную часть, для начала найдем производную нашей функции:

[tex]f(x_{0} )=x^{4} +x\\\\f'(x_{0} )=4x^{3} +1[/tex]

Теперь в найденную производную подставим значение х0:

[tex]f'(x_{0} ) =4x^{3} +1\\\\f'(x_{0} ) =4+1\\\\f'(x_{0} ) =5[/tex]

3.3)

[tex](x-x_{0} )-?[/tex]

В данной части все довольно просто, нам надо подставить значение х0:

[tex](x-1)[/tex]

4. Вот мы и нашли все неизвестные части уравнения, осталось только подставить их и по возможности сократить:  

[tex]y=f(x_{0} )+f'(x_{0} )*(x-x_{0})\\\\y=2+5(x-1)\\\\y=2+5x-5\\\\y=5x-3[/tex]

Вот мы и нашли то, что требовалось в задании)