Verified answer

Пусть наша прогрессия имеет вид

[tex]a,qa,q^2a...[/tex]

Тогда по формуле для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

[tex]\displaystyle 8 = a+qa+q^2a+... = \frac{a}{1-q}[/tex]

В то же время кубы членов нашей прогрессии также образуют геометрическую прогрессию

[tex]a^3,q^3a^3,q^6a^3...[/tex]

Сумма ее членов, соответственно

[tex]\displaystyle \frac{512}{37} = a^3+q^3a^3+q^6a^3+... = \frac{a^3}{1-q^3} = \frac{a^3}{(1-q)(1+q+q^2)}[/tex]

Разделим второе равенство на первое и получим

[tex]\displaystyle \frac{64}{37} = \frac{a^2}{1+q+q^2}[/tex]

Учитывая, что [tex]a = 8(1-q)[/tex], получим

[tex]\displaystyle64(1+q+q^2) = 37\cdot64(1-2q+q^2)\\36q^2-75q+36=0\\D = 75^2-4\cdot36^2=441=21^2\\q = \frac{75-21}{72} = 0.75[/tex]

Второй корень квадратного уравнения нам не подходит, так как |q| должен быть меньше 1. В свою очередь [tex]a = 8(1-q) = 2[/tex]

Ответ: первый член равен 2, знаменатель равен 0.75