Ответ:

V=128√3 см³

Пошаговое объяснение:

!Рисунок к задаче и условие на фотографии закреплённой с низу.

Рассмотрим задачу поэтапно и реши ее:

1. Самое первое и самое главное что надо знать для решения данной задачи это формулу объёма правильной треугольной пирамиды:

[tex]\frac{a^{2}h }{4\sqrt{3} }[/tex]

a- сторона основания

h- высота пирамиды

2. Теперь зная формулу будем постепенно находить ее неизвестные нам части. Но перед этим мы должны уяснить одну вещь, если мы рассмотрим рисунок то четко увидим, что высота опущена на центр вписанного круга, но почему это так ?

- Если двугранные углы при основании пирамиды равны(боковые грани образуют с плоскостью основания угол 60°).

-Если высоты боковых граней равны( они равны так как пирамида правильная)

-Если высоты боковых граней составляют равные углы с высотой пирамиды( они равны так как пирамида правильная)

↓

Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности.

3. Теперь зная точно, что высота проходит через центр вписанной окружности мы можем рассмотреть ΔOTS. Что мы знаем в этом треугольнике ? ОТ= 4см, ∠SOT=60°,∠SOT=90°, ΔOTS-прямоугольный.

↓

OS=h=8cм

Но как мы это вычислили ? Так как угол ∠SOT=60° → ∠TSO= 30°. Но что нам это дает ? Разберем одно правило чтобы понять, что нам это дает:

Катет лежащий на против угла 30° в два раза меньший за гипотенузу.

Теперь мы можем понять что катет  ОТ лежит на против угла 30°, а значит:

[tex]SO=2*OT=2*4=8[/tex]

OS=h=8cм

4. Вот мы и нашли уже одну часть формулы, осталось только найти а(сторону основания). Но как нам ее найти ? Посмотрим на рисунок и на условие задачи:

1) Треугольник равносторонний.

2) В этот треугольник вписан круг.

Для нахождения радиуса круга вписанного в равносторонний треугольник есть отдельная формула, рассмотрим ее:

[tex]r=\frac{a}{2\sqrt{3} }[/tex]

a- сторона треугольника

Так как мы по условию знаем радиус, то мы с легкостью можем найти по этой формулу сторону треугольника:

[tex]4=\frac{a}{2\sqrt{3} } \\\\a=4*2\sqrt{3} \\\\a=8\sqrt{3}[/tex]

Стороны основания пирамиды равны 8√3 см.

5. Вот мы и нашли все неизвестные нам части формулы, подставим найденные значения в форму и найдем объём пирамиды:

[tex]\frac{(8\sqrt{3} )^{2}*8 }{4\sqrt{3} } = \frac{64*3*8}{4\sqrt{3} } =\frac{64*3*2}{\sqrt{3} }=\frac{384}{\sqrt{3} } =\frac{384}{\sqrt{3} }*\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =\frac{384\sqrt{3} }{3} =128\sqrt{3}[/tex]

V=128√3 см³

Вот мы и нашли то что требовалось в задаче)