Verified answer

Ответ:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (4, +∞)

Объяснение:

[tex]\frac{x^2(x+3)(x-3)}{(x+2)(x-4)} > 0[/tex]

Традиционно, такие неравенства решают с помощью метода интервалов. Если, возможно, некоторые моменты в решении вам станут непонятны, то советую в ютубе посмотреть видео-урок Валерия Волкова на эту тему.

• Для начала чертим координатную прямую. и отмечаем на ней все наши точки, которые обращают числитель или знаменатель в ноль. Точки из знаменателя "выкалывают", то есть просто их не закрашивают. Если неравенство строгое (как в нашем случае). то выкалывают все точки.
• Далее определяем знаки на промежутках. Для начала заметим, что в неравенстве присутствует четная степень, а это значит, что знаки в промежутке могут повторяться (если бы все степени были нечетные, то знаки бы просто чередовались). Для того, чтобы определить знак на промежутке, достаточно просто подставить любое число из этого промежутка в наше неравенство и посмотреть:

1. Если левая часть становится отрицательной, то ставим над промежутком знак "-".
2. Если левая часть становится положительной, то ставим над промежутком знак "+".

• Находим знак самого крайнего промежутка, и далее чередуем их до "0". Здесь нам стоит остановиться. Как я уже писал выше, из-за того, что в неравенстве присутствует четная степень, над ней на координатной прямой в промежутке нарисуем "лепесток". Кратко расскажу, что он делает. В нем мы рисуем знак, который не учитываем в ответе, но он поможет нам не запутаться. Так как справа от "0" на координатной прямой стоит знак "+", то в лепестке мы рисуем противоположный знак "-". Теперь поставим знак слева от "0". Так как в "лепестке" мы нарисовали "-", то слева от "0" рисуем знак "+". И просто продолжаем чередовать знаки.
• Теперь просто находим приемлемые для нас промежутки, Так как неравенство должно быть СТРОГО больше нуля (>), то нас интересуют промежутки со знаком "+". Ответ записываем в математической форме:

x ∈ (-∞, -3) ∪ (-2, 0) ∪ (0, 3) ∪ (4, +∞)