В числителе и знаменателе у нас два числа, причём в числителе отрицательное число, так как степень нечётная, а в знаменателе положительное, значит, мы можем на них поделить. Но нужно помнить, что мы делим на отрицательное число, а значит знак неравенство меняется

[tex]\cfrac{\log_4\left ( x^2+6 \right )}{\log_x(x+5)} < 0\Leftrightarrow \cfrac{1}{\log_x(x+5)} < 0\Leftrightarrow \log_x(x+5) < 0[/tex]

Стоит заменить, что в числителе строго положительная функция, то есть мы можем поделить на неё и неравенство не изменится, так как нулей она не имеет

Воспользуемся методом рационализации

[tex]\log_x(x+5) < \log_x1\Leftrightarrow 9x-1(x+5-1) < 0\Leftrightarrow (x-1)(x+4) < 0[/tex]

Решение данного неравенства [tex]x\in (-4,1)[/tex]

Теперь осталось найти ОДЗ и нанести на наш ответ

[tex]\begin{cases}x^2+6 > 0\\ \log_x(x+5)\neq 0\\x\neq 1\\x > 0\\x+5 > 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x\neq 1\\x > 0\\x > -5\end{cases}\Rightarrow x\in (0,\infty )\setminus \left \{ 1 \right \}[/tex]

С учётом нашего ОДЗ ответ будет [tex]x\in (0,1)[/tex]