Пусть . Тогда: , , возвращаясь к неравенству и сокращая на , получаем: .
Рассмотрим две непрерывные одинаково выпуклые функции. Они могут пересекаться не более чем в одной точке. Действительно, пусть таких точек хотя бы две. Соединим соседние, тогда эта хорда для одной функции располагается над графиком, а для другой — под графиком. Значит, функции разной выпуклости. Следовательно, точек пересечения не более одной.
Легко проверить, что функции, стоящие в обеих частях являются выпуклыми вниз (достаточно дважды продифференцировать или просто раскрыть скобки, разбив функцию на элементарные составляющие).
Графики функции пересекаются в точке , значит, для они больше нигде не пересекаются. Например, при неравенство выполнено, стало быть, оно будет выполнено и для остальных положительных .
0 votes Thanks 0
GluV
5x^2+2x+2=4x^2-3x-2 Параболы, одинаково выпуклые и имеют 2 точки пересечения. В приведенной задаче важно, что в точке пересечения есть одинаковая касательная.
albina1795
Спасибо, но хотелось бы решение задания. И как его адаптировать для 9-10 классов?
Answers & Comments
Пусть
. Тогда: 
, 
, возвращаясь к неравенству и сокращая на 
, получаем: 
.
Рассмотрим две непрерывные одинаково выпуклые функции. Они могут пересекаться не более чем в одной точке. Действительно, пусть таких точек хотя бы две. Соединим соседние, тогда эта хорда для одной функции располагается над графиком, а для другой — под графиком. Значит, функции разной выпуклости. Следовательно, точек пересечения не более одной.
Легко проверить, что функции, стоящие в обеих частях являются выпуклыми вниз (достаточно дважды продифференцировать или просто раскрыть скобки, разбив функцию на элементарные составляющие).
Графики функции пересекаются в точке
, значит, для 
они больше нигде не пересекаются. Например, при 
неравенство выполнено, стало быть, оно будет выполнено и для остальных положительных 
.