Обе части равенства могут быть равны нулю только при x=y и y=1. Если обе части равенства ненулевые, то либо x-y либо x+y делится на 23, тк 23 - простое число.
У этого уравнения только один положительный корень
[tex]y = n+\sqrt{24n^2+1}[/tex]
Таким образом мы должны найти все [tex]n[/tex], такие что [tex]24n^2+1=N^2[/tex]. Это известный случай уравнения Пелля, в канонической форме записывается как [tex]N^2-24n^2=1[/tex]. Самое его "минимальное" решение ищется легко: [tex]N=5, n=1[/tex]. Следующее его решение конструируется следующим образом. Возведем [tex]N+n\sqrt{24} = 5+\sqrt{24}[/tex] в квадрат, получим [tex]49+10\sqrt{24}[/tex]. Числа N=49, n=10 также являются решениями уравнения [tex]24n^2+1=N^2[/tex] (проверка: [tex]2401=49^2[/tex]). Следующее решение конструируется аналогичным образом: [tex]5+\sqrt{24}[/tex] возводится в куб и упрощается до [tex]485+99\sqrt{24}[/tex], значит N=485, n=99 тоже решения.
Проще говоря [tex](5+\sqrt{24})^k = N_k+n_k\sqrt{24}[/tex], где [tex]k\in\mathbb{N}[/tex], и в свою очередь [tex]y_k=N_k+n_k[/tex], [tex]x_k = N_k+24n_k[/tex] Например для k=1 в итоге получим пару y=6, x=29
Случай Б) [tex]x+y=23n, \quad n\in\mathbb{N}[/tex]
Это уравнение также имеет единственное положительное решение
[tex]y = -n+\sqrt{24n^2+1}[/tex]. Мы уже выяснили, когда [tex]24n^2+1[/tex] является полным квадратом и поэтому это семейство решений также представим в виде
[tex]y_k = N_k-n_k[/tex], [tex]x_k = 24n_k-N_k[/tex]. Например для все того же k=1, имея n=1 и N=5, получим y=4, x=19
Ответ: пара чисел [tex](x,y)[/tex] либо является [tex](1,1)[/tex], либо принадлежит одному из двух семейств
[tex](N_k+24n_k,N_k+n_k)[/tex] или [tex](24n_k-N_k,N_k-n_k)[/tex], где числа [tex]N_k[/tex] и [tex]n_k[/tex] находятся из приведения выражения [tex](5+\sqrt{24})^k[/tex] к виду [tex]N_k+n_k\sqrt{24}[/tex], а k является натуральным числом
Answers & Comments
[tex]x^2+23 = 23y^2+y^2\\(x-y)(x+y) = 23(y^2-1)[/tex]
Обе части равенства могут быть равны нулю только при x=y и y=1. Если обе части равенства ненулевые, то либо x-y либо x+y делится на 23, тк 23 - простое число.
Случай А) [tex]x-y=23n,\quad n\in\mathbb{N}[/tex]
[tex]23n(23n+2y)=23(y^2-1)\\23n^2+2ny=y^2-1\\y^2-2ny-23n^2-1=0\\[/tex]
У этого уравнения только один положительный корень
[tex]y = n+\sqrt{24n^2+1}[/tex]
Таким образом мы должны найти все [tex]n[/tex], такие что [tex]24n^2+1=N^2[/tex]. Это известный случай уравнения Пелля, в канонической форме записывается как [tex]N^2-24n^2=1[/tex]. Самое его "минимальное" решение ищется легко: [tex]N=5, n=1[/tex]. Следующее его решение конструируется следующим образом. Возведем [tex]N+n\sqrt{24} = 5+\sqrt{24}[/tex] в квадрат, получим [tex]49+10\sqrt{24}[/tex]. Числа N=49, n=10 также являются решениями уравнения [tex]24n^2+1=N^2[/tex] (проверка: [tex]2401=49^2[/tex]). Следующее решение конструируется аналогичным образом: [tex]5+\sqrt{24}[/tex] возводится в куб и упрощается до [tex]485+99\sqrt{24}[/tex], значит N=485, n=99 тоже решения.
Проще говоря [tex](5+\sqrt{24})^k = N_k+n_k\sqrt{24}[/tex], где [tex]k\in\mathbb{N}[/tex],
и в свою очередь [tex]y_k=N_k+n_k[/tex], [tex]x_k = N_k+24n_k[/tex]
Например для k=1 в итоге получим пару y=6, x=29
Случай Б) [tex]x+y=23n, \quad n\in\mathbb{N}[/tex]
[tex](23n-2y)\cdot23n = 23(y^2-1)\\23n^2-2ny=y^2-1\\y^2+2ny-23n^2-1=0[/tex]
Это уравнение также имеет единственное положительное решение
[tex]y = -n+\sqrt{24n^2+1}[/tex]. Мы уже выяснили, когда [tex]24n^2+1[/tex] является полным квадратом и поэтому это семейство решений также представим в виде
[tex]y_k = N_k-n_k[/tex], [tex]x_k = 24n_k-N_k[/tex].
Например для все того же k=1, имея n=1 и N=5, получим y=4, x=19
Ответ: пара чисел [tex](x,y)[/tex] либо является [tex](1,1)[/tex], либо принадлежит одному из двух семейств
[tex](N_k+24n_k,N_k+n_k)[/tex] или [tex](24n_k-N_k,N_k-n_k)[/tex], где числа [tex]N_k[/tex] и [tex]n_k[/tex] находятся из приведения выражения [tex](5+\sqrt{24})^k[/tex] к виду [tex]N_k+n_k\sqrt{24}[/tex], а k является натуральным числом