Проведем доказательство индукцией по .

База: .

Имеем два промежутка: и . Докажем, что существует представление в виде . Для этого достаточно доказать, что функция линейна на каждом из указанных промежутков и производная (угол наклона прямой) может принимать любые численные значения. Линейность функции очевидна. Рассмотрим на промежутках:

• : (за счёт независимости (это число появляется только как свободный член) данное уравнение действительно описывает любую прямую.
• : аналогично. При этом заметим, что если зафиксировать старший член и свободный в первом случае, то множество значений старшего и свободного члена во втором случае есть все множество действительных чисел.

Единственность представления доказывается просто. Пусть нашлись другие (возможно совпадающие, но не полностью) числа . Рассмотрим первый промежуток: , откуда . К этой системе добавятся условия из второго промежутка: . Решая систему из первого уравнения первой системы и первого уравнения второй, получим . Используя это равенство для второго уравнения первой системы, приходим к равенству . Единственность доказана.

Переход: пусть для некоторого выполнено условие задачи. Докажем, что оно выполнено и для .

Рассмотрим функцию . По предположению индукции можно представить в этом виде, причем единственным образом. Рассмотрим следующую функцию . Очевидно, что первые чисел можно подобрать по предположению индукции, представив тем самым функцию на промежутках . Оставшуюся часть представим, пользуясь базой индукции (при этом отсутствие минус бесконечности на ход решения не влияет). Докажем единственность. Пусть нашелся другой набор чисел . Введем функцию , которая описывается следующим графиком: она совпадает с на первых промежутках, а кусок прямой на -ом продлевается в бесконечность (вправо). Тогда у два представления, что противоречит предположению индукции. Следовательно, , причем может отличаться от . Тогда проведем те же рассуждения, взяв последние чисел.