Докажите неравенство:. Created by albina1795. matematika-ru

Докажите неравенство:...

July 2022 1 2 Report

Докажите неравенство:

Answers & Comments

Guerrino

Для $n\geq 2$ выражение $(n+1)^3$ положительно. Сделаем преобразования, эквивалентные на данном множестве: $2(n+1)^3\leq n^6 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{n^2}{n+1} }\geq 2^{1/6}$ .

Пусть $f(x),g(x)$ строго монотонные непрерывные функции (и дифф. на рассматриваемом множестве). Тогда $f(g(x))$ тоже монотонна на этом множестве. Достаточно показать, что $[f(g(x))]'$ не имеет корней: $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$ , где каждое из множителей не обращается в нуль на рассматриваемом множестве. (Поправьте, если неправ).

Рассмотрим функцию $f(n)=\frac{n^2}{n+1}=f$ . Докажем, что она монотонна при положительных $n$ : $f'=(f+2)'=(\frac{(n+1)^2+1}{n+1} ) '=(n+1)'+(\frac{1}{n+1})'=1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2} >0$ .

Используя вышеизложенные рассуждения, приходим к выводу: $\sqrt{f}$ монотонна при положительных значениях $n$ . (Можно и проще: просто поделить на $n^2$ числитель и знаменатель).

Для $n\geq 2$ имеем: $\sqrt{\frac{n^2}{n+1} }\geq \sqrt{\frac{4}{3} }=\frac{2}{\sqrt{3}} >\frac{2}{2^{5/6}}=2^{1/6}$ .

2 votes Thanks 2

albina1795 Спасибо. Идеальное решение. Остается адаптировать для десятиклассника, который еще не учил производную...

Guerrino ну вот поделив числитель и знаменатель на n^2 получаем sqrt(1/(1/n+1/n^2)). теперь достаточно понимать, что корень монотонен, сумма монотонных монотонна и т.д., без производных

x2324y

Answer

albina1795 July 2022 | 0 Ответы

masha i kolya igrayut v igru snachala kolya nazyvaet nekotoroe prostoe chislo p poslbfa08f79b250ce7c4ad6f22e087b9d57 25257

Answer

albina1795 July 2022 | 0 Ответы

Answers & Comments

x2324y

masha i kolya igrayut v igru snachala kolya nazyvaet nekotoroe prostoe chislo p poslbfa08f79b250ce7c4ad6f22e087b9d57 25257

dokazat chto funkciyu s modulyami mozhno predstavit v vide

masha i kolya igrayut v igru snachala kolya nazyvaet nekotoroe prostoe chislo p posl

dokazat chto dlya chisel fibonachchi kotorye opredelyayutsya formulami f1f21 fn2

dokazat chto dlya vseh naturalnyh n verno neravenstvo

dlya dejstvitelnyh a lt b dokazat neravenstvo

na shahmatnoj doske razmestite ladyu i naibolshee kolichestvo konej tak chtoby ni

362 dokazat chto r delitsya na 3746a8f446bf81fecb33cc5da5e8fc33b5 49739

zadano chetyre posledovatelnyh chlena arifmeticheskoj progressii a1 a2 a3 a4 kolya

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social