Все таки не удержусь и для начала покажу красивый способ без метода мат индукции, а потом уже с методом мат. индукции.

Первый способ.(собственно то, как, возможно, была выведена эта формула)

Обозначим сумму ряда за S:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+n(n+1)!/2^n = S

Рассмотрим также вспомогательную сумму S1:

2!/2 +3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+1)!/2^n = S1

Тогда не трудно убедится, что

S+2S1 = 3*2!/2 + 4*3!/2^2 + 5*4!/2^3+...+(n+2)(n+1)!/2^n =

= 3!/2 + 4!/2^2+ 5!/2^3+...+(n+2)!/2^n = 2*( 3!/2^2 + 4!/2^3 +...+(n+2)!/2^(n+1) =

= 2(S1 -2!/2 + (n+2)!/2^(n+1))

То есть получаем равенство:

S+2S1 = 2S1 -2! + (n+2)!/2^n

Замечаем, что 2S1 сокращается:

S = (n+2)!/2^n - 2

Что и требовалось доказать.

Второй способ (метод математической индукции)

Проверим, что тождество верно для n = 1:

1*2!/2 = 3!/2 - 2

1 = 3 - 2 - верно.

Предположим, что утверждение справедливо для n = t, то есть:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t = (t+2)!/2^t - 2

Докажем его справедливость для n = t+1

То есть нужно доказать, что:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = (t+3)!/2^(t+1) - 2

Нетрудно заметить, что:

1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) =

= (1*2!/2 + 2*3!/2^2 + 3*4!/2^3+...+t(t+1)!/2^t) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1)  =

= (t+2)!/2^t - 2 + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) = 2(t+2)!/2^(t+1) + (t+1)(t+2)!/2^(t+1) - 2 =

= (2+t+1)*(t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)((t+2)!/2^(t+1) - 2 = (t+3)!/2^(t+1) - 2

А значит, по принципу математической индукции, данное тождество доказано.